Théorie classique du consommateur/Le problème dual du consommateur

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Une différente façon de poser le problème est de réduire la dépense nécessaire pour arriver à un niveau d'utilité déterminé, c'est-à-dire:

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$\min _{\mathbf {x} |u(\mathbf {x} )\geq {\bar {u}}}\mathbf {p} \mathbf {x}$.

Le problème est bien défini parce que la fonction objectif est linéaire et différenciable, alors que l'obligation est convexe, si la fonction d'utilité est presque convexe.

La solution à ce problème $,\ \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})\ ,$ est appelée demande hicksienne. Nous verrons ensuite quels sont les liens entre cette dernière et la demande marshallienne vue auparavant dans le problème primaire.

La fonction de dépense minimum

Faisons la substitution de la demande hicksienne à l'intérieur de la fonction réduite, on obtient la fonction de dépense minimum: $e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})=\mathbf {p} \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})$. Cette fonction est

• non décroissante dans les prix et dans la limite d'utilité.
• Homogène de degré 1 dans $\mathbf {p}$, car la demande hicksienne (comme par ailleurs la marshallienne) est homogène de degré 0, donc en multipliant les prix par une costante la demande reste invariée et la dépense augmente du même pourcentage que les prix.
• concave dans les prix : quand les prix augmentent, la dépense n'augmente pas de façon linéaire parce que le consommateur "règle" son propre choix pour diminuer ses frais.
• Prenons le lemme di Shephard: $x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\bar {u}})={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\bar {u}})}{\partial p_{i}}}$, que nous démontrerons ensuite.