Théorie des groupes/Examen/Licence math algèbre Université de Provence mars 1996
Il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements et de la présentation.
Soit G un groupe multiplicatif dont la loi est dénotée par juxtaposition et dont l'élément neutre est e.
Si E est un sous-ensemble non-vide de G, on appelle centralisateur de E dans G le sous- ensemble ZG(E) de G défini par ZG(E) = {a ∈ G|ᗄx ∈ E, axa-1 = x}. On dénote le centre de G par Z(G).
1 ) (i) Montrer que ZG(E) est un sous-groupe de G.
- (ii) Qu’est ce que ZG(G) ?
- (iii) Si ∅ ≠ E ⊂ F ⊂ G, comparer ZG(E) et ZG(F).
- (iv) On rappelle que E-1 = {x-1 ∈ G|x ∈ E}. Montrer que ZG(E) = ZG(E-1) = ZG(〈E〉).
- (v) Peut-on affirmer que ZG(E) contient E ?
2 ) (i) Soient H et K deux sous-groupes distingués de G tels que H ᑎ K = {e}. Montrer que chacun d'eux est contenu dans le centralisateur de l'autre. (Si h ∈ H et k ∈ K on pourra considérer l'élément [h,k] = hkh-1k-1.)
- (ii) Soient H et K deux sous-groupes de G tels que H ᑎ K = {e}. On rapelle que HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K}. Montrer que HK est isomorphe au produit direct (externe) H ✕ K.
On dit qu'un groupe G est simple si G ≠ {e}, et les seuls sous-groupes distingués de G sont G et {e}.
3 ) Montrer que si G est commutatif on a : G est simple si et seulement si G est monogène et fini d'ordre premier.
Soit A = Aut G le groupe d'automorphisme de G, et I = Int G le groupe d'automorphisme intérieur de G. La loi pour ces groupes est la composition notée ∘.
4 ) (i) Montrer que I est un sous-groupe distingué.
- (ii) Montrer que I = {IdG} si et seulement si G est abélien.
5 ) (i) Montrer qu'un automorphisme de G, σ ∈ A, commute avec l'automorphisme intérieur Φg ∈ I si et seulement si g-1σ(g) ∈ Z(G).
- (ii) Montrer que σ ∈ ZA(I) si et seulement si pour tout g ∈ G, on a g-1σ(G)∈ Z(G).
- (iii) En déduire que si Z(G) = {e} on a ZA(I) = {IdA}.
On suppose désormais que G est un groupe simple non-abélien.
6 ) (i) Montrer que l’application Φ : G → I est un isomorphisme. Qu'en déduit-on pour le groupe I ?
Soit s un automorphisme du groupe A (c'est-à-dire, s est un élément du groupe Aut A).
- (ii) Montrer que s(I) est distingué dans A et en déduire (utilisant 2, 5 et 6(i) ci-dessus) qu'on ne peut pas avoir I ᑎ s(I) = {IdG} (noter que IdG est l'élément neutre du groupe A).
- (iii) Déduire que s(I) = I.
7 ) Soit s un automorphisme de A qui laisse invariant tout élément α de I.
- (i) Montrer que pour tout τ ∈ A, et tout α ∈ I, s laisse fixe τ∘α∘τ-1, et τ-1∘s(τ) ∈ ZA(I).
- (ii) Montrer que s = IdA.
8 ) Soit s un automorphisme de A. Nous savons, d’après 6 que s laisse I globalement stable. On appelle encore s la restriction de s à I, et on pose σ = Φ-1∘s∘Φ.
- (i) Montrer que σ ∈ A.
- (ii) On pose u : A → A l’application définie par ξ → σ-1∘s(ξ)∘σ. Si g,y ∈ G, que vaut (u(ΦG))(y)? (Utiliser le fait que Φ∘σ = s∘Φ.)
- (iii) En déduire que u = IdA, puis que tout automorphisme de A est intérieur.
9 ) Soit :
On sait que L est un groupe pour la multiplication des matrices.
- (i) Trouver Z(L);L est-il commutatif ? L/Z(L) est-il commutatif? (Les matrices et pour x, y ∈ ℝ sont des étéments de L.)
On admet le résultat suivant : Si H est un sous-groupe distingué de L qui contient Z(L) alors soit H = Z(L), soit H = L.
- (ii) Montrer que Z(L/Z(L)) est le groupe trivial d'ordre 1. Montrer que L/Z(L) est simple.
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