Théorie des groupes/Exercices/Groupe à opérateurs

Problème 1

Soit K un corps (que nous supposerons commutatif pour simplifier les expressions) et V un espace vectoriel de dimension 1 sur K. On a noté dans la théorie que le groupe additif V, muni de la loi externe de l'espace vectoriel, est un groupe à opérateurs qui est simple comme groupe à opérateurs. En déduire un exemple de groupe à opérateurs qui est simple comme groupe à opérateurs mais n’est pas simple comme groupe.

Solution

Le groupe additif V est commutatif, donc il est simple (comme groupe) si et seulement son ordre est un nombre premier (voir le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément). Puisque l'espace vectoriel V est de dimension 1, ceci a lieu si et seulement si le cardinal de K est un nombre premier. On voit donc que si, par exemple, le corps K est infini, un espace vectoriel de dimension 1 sur K est simple comme K-groupe mais n’est pas simple comme groupe.