Théorie générale des nombres complexes/Exercices/Théorie des nombres complexes

Exercice 1-1

Calculer les racines carrées des nombres :

$a)\,7+3i\qquad \qquad \qquad b)\,2-5i\qquad \qquad \qquad c)\,1+i$.

Solution

a) Nous cherchons le nombre $x$ tel que : $x^{2}=7+3i$. Notons $a$ et $b$ les parties réelle et imaginaire de $x$.

$x=a+ib\qquad (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$

Développons le carré de $x$ :

$x^{2}=a^{2}-b^{2}+2iab$.

En égalant $x^{2}$ à $7+3i$, on obtient le système d'équations suivant : ${\begin{cases}a^{2}-b^{2}=7\qquad (1)\\2ab=3\qquad (2)\end{cases}}$

Utilisons désormais le module de $x^{2}$, qui doit être égal au module de $7+3i$ :

$a^{2}+b^{2}={\sqrt {7^{2}+3^{2}}}={\sqrt {58}}\qquad (3)$

La somme $(1)+(3)$ et la différence $(1)-(3)$ donne les deux équations suivantes :

${\begin{cases}a^{2}={\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}\\b^{2}={\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}\end{cases}}$

À partir de ce résultat, il ne manque plus que la connaissance du signe de $a$ et $b$ qui est donnée par $(2)$. Ici, le produit $ab$ est positif, donc a et b sont de même signe. On en déduit les solutions $x_{0}$ et $x_{1}$ suivantes :

${\begin{cases}x_{0}={\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}}+i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}}\\x_{1}=-{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}}-i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}}\end{cases}}$

b) Comme précédemment, nous allons poser $x=a+ib$ tels que $(a,b)\in \mathbb {R}$ et voir à quelles conditions l'égalité $x^{2}=2-5i$ est vérifiée.

$x^{2}=2-5i\Leftrightarrow {\begin{cases}a^{2}-b^{2}=2\\2ab=-5\\a^{2}+b^{2}={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a^{2}={\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}\\b^{2}={\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}\\2ab=-5\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{0}={\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}}-i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}}\\x_{1}=-{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}}+i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}}\\\end{cases}}$

Nous obtenons les deux racines présentées ci-dessus comme $x_{0}$ et $x_{1}$.

c) Pour cet exemple, on pourrait procéder comme précédemment, mais il est plus simple dans ce cas de reconnaître l'écriture exponentielle du nombre $1+i$ :

$1+i={\sqrt {2}}\left(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}$

On peut donc trouver les racines de ce nombre sous la forme $x=re^{i\theta }$ tel que $(r,\theta )\in \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi [$ :

$x^{2}=1+i\Leftrightarrow r^{2}e^{2i\theta }={\sqrt {2}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}\Leftrightarrow {\begin{cases}r=2^{\frac {1}{4}}\\\theta ={\dfrac {\pi }{8}}{\bmod {\pi }}\end{cases}}$

Les deux racines carrées de $1+i$ sont donc $x_{0}=2^{\frac {1}{4}}e^{i{\frac {\pi }{8}}}$ et $x_{1}=2^{\frac {1}{4}}e^{i{\frac {9\pi }{8}}}$.

 

Exercice 1-2

Donner, sous forme cartésienne $z=x+\mathrm {i} y$, toutes les solutions de l'équation $\operatorname {e} ^{z}=1+\mathrm {i}$.

Solution

$\operatorname {e} ^{x+\mathrm {i} y}=1+\mathrm {i} \Leftrightarrow \operatorname {e} ^{x}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} y}={\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}\Leftrightarrow$ (en identifiant module, et argument modulo $2\pi$) $\operatorname {e} ^{x}={\sqrt {2}}$ et $y=\pi /4+2k\pi$ avec $k$ entier relatif. L'ensemble des solutions est donc $\ln({\sqrt {2}})+\mathrm {i} (\pi /4+2\pi \mathbb {Z} )$, c'est-à-dire l'ensemble des $z$ de la forme ${\ln 2 \over 2}+\mathrm {i} (\pi /4+2k\pi )$ avec $k\in \mathbb {Z}$.