Théorie générale du choix et des préférences/Exercices/Esercizi

1. Dato $X=\left\{\left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\}$, l'insieme di consumo, dove nel generico paniere il primo numéro indica il consumo di bene $x_{1}$ e il secondo il consumo di bene $x_{2}$.
   • Date le preferenze $\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(0,0\right);\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(1,0\right);\left(1,1\right)\succcurlyeq \left(0,1\right);\left(1,0\right)\succcurlyeq \left(0,1\right);\left(1,0\right)\succcurlyeq \left(0,0\right)$, si indichi quali assiomi non vengono rispettati.
   • Si scriva un esempio possibile di preferenze che rispetti tutti gli assiomi
2. Si dimostri che il saggio marginale di sostituzione è invariante a trasformazioni monotoniche crescenti di $u$
3. Si calcoli il saggio marginale di sostituzione delle seguenti funzioni di utilità e si traccino le curve di indifferenze nel caso di due soli beni:
   • $u\left(\mathbf {x} \right)=\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}}$ (Utilità Cobb-Douglas)
   • $u\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}x_{i}$ (Beni perfetti sostituti)
   • $u\left(\mathbf {x} \right)=\min \left[\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{N}\right]$ (Beni perfetti complementi)