Théorie générale du choix et des préférences/Modellizzazione delle preferenze

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Sia $X\subseteq \mathbb {R} _{+}^{n}$, l'insieme di consumo, dove $n\in \mathbb {N}$ è il numéro di beni disponibili. I vettori $\mathbf {x} \in X$, di dimensione $n$, sono i possibili panieri di consumo a disposizione dei consumatori, ed i loro elementi, $x_{l}\in \mathbb {R} _{+}$, sono la quantità di bene $l\in \mathbb {N}$ consumata.

• In questo tipo di formalizzazione matematica stiamo implicitamente assumendo che tutti i beni siano perfettamente divisibili, infatti le quantità appartengono all'insieme dei reali.
• Altra questione è la definizione di bene: come facciamo a distinguere un bene dall'altro? Il "cellulare" è un bene? O bisogna indetificare la marca? E il colore? E il luogo d'acquisto? E il tempo in cui il bene è disponibile? Gli stati di natura (pioggia o sole, ad esempio)? In pratica, a seconda dell'applicazione che si sta facendo del modello, sarà necessario stabilire il livello di aggregazione dei beni.

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Sia $\succcurlyeq$ una Relazione binaria definita come: $\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y}$ se $\mathbf {x}$ è debolmente preferito a (o "almento tanto buono quanto") $\mathbf {y}$.

Definiamo inoltre la preferenza stretta: $\mathbf {x} \succ \mathbf {y} \Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \land \mathbf {y} \not \succcurlyeq \mathbf {x}$ e l'indifferenza: $\mathbf {x} \sim \mathbf {y} \Leftrightarrow \mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \land \mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {x}$

Finora non abbiamo fatto alcuna assunzione sulla struttura delle preferenze, a parte la perfetta divisibilità dei beni. Quello che abbiamo ottenuto è un modo di rappresentare le preferenze del generico consumatore: questo metodo di rappresentazione, però, non è molto maneggevole dal punto di vista matematico. Quello che invece risulterebbe comodo avere è una funzione di utilità tale che: $\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {y} \Leftrightarrow u\left(\mathbf {x} \right)\geq u\left(\mathbf {y} \right)$ dove $u\left(\mathbf {x} \right):X\rightarrow \mathbb {R}$

In sostanza tale funzione di utilità assegna a ciascun paniere un numéro in modo tale che un paniere, $\mathbf {x}$, è debolmente preferito ad un altro, $\mathbf {y}$, se e solo se il numéro associato al primo è maggiore o uguale al numéro associato al secondo.

Passiamo ora a vedere quali sono le assunzioni necessarie al fine di ottenere una funzione di utilità.