Théorie générale du choix et des préférences/Proprietà delle funzioni di utilità

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• Ogni funzione di utilità è unica a meno di una trasformazione monotonica crescente, ovvero applicando una arbitraria funzione monotona crescente alla funzione di utilità, otteniamo tutte le possibili funzioni di utilità rappresentative delle preferenze date. Si dice, quindi, che l'utilità ha natura ordinale: il valore assunto dalla funzione di utilità per un determinato paniere non ha significato in se, quello che conta è l'ordine. Se, ad esempio, un paniere ha utilità 100 ed un altro 10, possiamo solo concludere che il primo è preferito al secondo, non che il primo è 10 volte più utile del secondo.
• Si definisce curva d'indifferenza, o di isoutilità, l'insieme di tutti i panieri aventi la stessa utilità. È, dunque, chiaro il parallelo con le classi di equivalenza di cui si è parlato in precedenza. Volendo ottenere l'equazione della generica curva d'indifferenza, nel caso di due soli beni, in modo da poterne tracciare il grafico, bisogna seguire lo stesso procedimento utilizzato per disegnare le curve di livello di una funzione, ossia:
  • Data la funzione di utilità $u\left(x_{1},x_{2}\right)$, si considerino le combinazioni dei due beni aventi la stessa utilità: $u\left(x_{1},x_{2}\right)=k$
  • Si imponga che il differenziale totale sia nullo (l'utilità, date le variazioni di $x_{1},x_{2}$, rimane costante): $du={\frac {\partial u\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial u\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}dx_{2}=0$
  • Quindi si ottiene l'inclinazione della curva d'indifferenza: ${\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}{\bigg |}_{du=0}=-{\frac {\frac {\partial u\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial u\left(x_{1},x_{2}\right)}{\partial x_{2}}}}$; il valore assoluto di tale inclinazione viene detta saggio marginale di sostituzione tra $x_{1}$ e $x_{2}$, che indica di quanto deve aumentare la quantità di $x_{2}$ al diminuire della quantità di $x_{1}$ presente nel paniere, affinché il consumatore rimanga indifférente. In generale è $|SMS_{i,j}|={\frac {\frac {\partial u\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u\left(\mathbf {x} \right)}{\partial x_{j}}}}$
• Le curve di indifferenza hanno sempre inclinazione negativa: la monotonicità stretta esclude la possibilità di tratti ad inclinazione non negativa
• Per quanto visto in precedenza (le curve di indifferenza sono classi di equivalenza), per ogni paniere passa una ed una sula curva di indifferenza (ossia, due curve di indifferenza non si incrociano mai)
• Si assume che le preferenze siano convesse, ossia: $\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in X,\mathbf {x} \succcurlyeq \mathbf {z} \land \mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {z} \Rightarrow \lambda \mathbf {x} +\left(1-\lambda \right)\mathbf {y} \succcurlyeq \mathbf {z} ,\forall \lambda \in \left[0,1\right]$. Ciò significa che se due panieri sono debolmente preferiti ad un paniere dato, anche una loro combinazione è debolmente preferita al paniere dato. L'implicazione economica è che un paniere "medio" è debolmente preferito ai panieri estremi.
  • La convessità delle preferenze implica che le curve di indifferenza sono convesse, che il saggio marginale di sostituzione è decrescente e che la funzione di utilità è quasi-concava, ossia: $u\left[\lambda \mathbf {x} +\left(1-\lambda \right)\mathbf {y} \right]\geq \max \left[u\left(\mathbf {x} \right),u\left(\mathbf {y} \right)\right],\forall \lambda \in \left[0,1\right]$
• Nonostante si possano ottenere infinite funzioni di utilità, mediante una trasformazione monotonica crescente, il saggio marginale di sostituzione risulta invariante alle suddette trasformazioni.