Théorie physique des distributions/Équations de convolution

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Nous avons vu que l'espace des distributions est muni des lois internes d'addition et de produit de convolution. Nous sommes donc naturellement amené, dans ce chapitre, à nous proposer de résoudre des équations utilisant ces lois internes et notamment le produit de convolution. Nous étudierons en particulier l'équation simple A⋆X = Y d'inconnue X connue sous le nom d'équation de convolution. La résolution de cette équation intervient dans de nombreux problèmes de physique dont nous donnerons quelques exemples.

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Algèbre de convolution

Nous avons dit dans un chapitre précédent que le produit de convolution n'était pas associatif dans ${\textstyle {\mathcal {D}}'}$. Nous pouvons toutefois, dans ce chapitre, rassurer le lecteur en lui apprenant que si les distributions se trouvent dans certains sous-espaces de ${\textstyle {\mathcal {D}}'}$, alors le produit de convolution devient associatif.

On considère généralement trois cas de figure qui sont les suivants :

• Toutes les distributions, sauf une au plus, sont dans ${\textstyle {\mathcal {E}}'}$
• Toutes les distributions sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{-}'}$
• Toutes les distributions sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$

Compte-tenu du fait que nous visons les applications physiques et que, par conséquent, nous pouvons considérer qu'un phénomène physique commence à un instant donné que l’on peut considérer comme étant l'origine des temps, on peut considérer que la plupart des distributions qui nous intéresseront serons dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$. L'espace ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ s’appelle « Espace des distributions causales ».

Nous pouvons alors vérifiée que ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ est une algèbre. Comme l'opération multiplicative est le produit de convolution, nous dirons que ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ est une algèbre de convolution.

Nous considérerons, dans la suite de ce chapitre, que toutes les distributions envisagées sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ ( ou dans ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$ qui est l'un de ses sous-espaces).

Définition de l'équation de convolution

Nous commencerons par donner la définition suivante :

Définition

On appelle équation de convolution l'équation :

$A\star X=Y$

• A est la distribution caractéristique du système physique.
• Y est généralement la distribution représentant la sollicitation du système physique.
• X est la distribution représentant le réponse du système physique.

Résoudre cette équation revient à déterminer la distribution X connaissant A et Y

Pour clarifier le problème, donnons un exemple simple.

Soit le circuit :

À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur et l’on souhaite connaître l'évolution du courant I dans le circuit.

Si l’on considère l'équation :

$A\star X=Y$

compte tenu de la définition, nous pouvons déjà dire que Y sera la distribution f.H(x) et X sera une distribution régulière représentant l'évolution du courant I dans le circuit. Il nous reste à déterminer la distribution A.

Pour cela, nous allons établir l'équation différentielle caractéristique du circuit.

La tension u au borne de la bobine est :

$u=L{\frac {dI}{dt}}$

Nous avons donc :

$f.H(t)=RI+L{\frac {dI}{dt}}$

Qui est l'équation différentielle régissant le circuit.

Traduisons cette équation sous forme de distribution. En tenant compte qu'une dérivée d'une distribution se traduit par la multiplication par δ', on obtient :

$f.H=R\delta \star I+L\delta '\star I$

qui se factorise ainsi :

$(R\star \delta +L\delta ')\star I=f.H$

En identifiant avec l'équation :

$A\star X=Y$

On a bien, comme supposé :

$Y=f.H$

$X=I$

Mais on a obtenu en plus :

$A=R\star \delta +L\delta '$

A étant la distribution caractéristique du circuit.

Résolution de l'équation de convolution

Si nous nous référons à nos connaissance antérieure, nous savons qu'une équation du premier degré :

$ax=b$

a pour solution :

$x={\frac {b}{a}}=b.a^{-1}$

avec :

$a^{-1}\times a=1$

Par analogie, on peut alors s'attendre à ce que la solution de l'équation :

$A\star X=Y$

soit :

$X=Y\star A^{-1}$

avec :

$A^{-1}\star A=\delta$

(car, de même que 1 est l'élément neutre de la multiplication des réel, δ est l'élément neutre de la convolution des distributions)

En fait, il semblerait que la première chose à faire soit de déterminer la distribution A^-1 vérifiant :

$A^{-1}\star A=\delta$

A^-1 est appelé « inverse de convolution », mais on la qualifie aussi de « solution élémentaire » ou, dans le cadre des circuits électriques de « réponse impulsionnelle ».

Nous savons que nous avons déclenché le chronomètre au moment où l’on a fermé interrupteur. Par conséquent le bon sens nous invite à penser qu'avant l'instant t = 0, la fonction représentant l'intensité dans le circuit était nulle et, par conséquent, la distribution inconnue X appartient à ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$. Nous voyons aussi que Y et A sont des distributions de ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$ puisque leur support est inclu dans [0;+∞[

Ces remarques nous autorisent à utiliser la transformée de Laplace des distributions X,A,Y. Par conséquent, en prenant la transformée de Laplace des deux membres de l'équation :

$A^{-1}\star A=\delta$

nous obtenons :

${\mathcal {L}}.(A^{-1}\star A)={\mathcal {L}}.\delta$

Qui s'écrit :

${\mathcal {L}}.A^{-1}\times {\mathcal {L}}.A=1$

Et là, on peut écrire :

${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}$

Nous pouvons donc déterminer A^-1 en utilisant une table des transformées de Laplace suffisamment complète.

Une fois que A^-1 est déterminée, nous pouvons facilement résoudre l'équation :

$A\star X=Y$

en convolant les deux membres par A^-1, on obtient :

$A^{-1}\star A\star X=Y\star A^{-1}$

L'associativité du produit de convolution dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ nous donne finalement :

$X=Y\star A^{-1}$

À titre d'exemple, nous allons finir de résoudre notre problème du paragraphe précédant :

Nous étions arrivée à une équation de convolution :

$A\star X=Y$

Avec :

$Y=f.H$

$X=I$

$A=R\star \delta +L\delta '$

Déterminons A^-1, on a :

${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.(R\star \delta +L\delta ')}}={\frac {1}{R+L.p}}$

Nous pouvons ici déterminer A^-1 à l'aide d'une table, mais ce n’est pas nécessaire car c’est X que nous voulons et comme X vérifie :

$X=Y\star A^{-1}$

On en déduit :

${\mathcal {L}}.X={\mathcal {L}}.Y\times {\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {f}{p}}\times {\frac {1}{R+L.p}}={\frac {f}{p(R+L.p)}}={\frac {f}{Rp}}-{\frac {f.L}{R(R+Lp)}}={\frac {f}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p+{\frac {R}{L}}}}\right)$

À l'aide d'une table des transformées de Laplace usuelles, nous voyons que l’on a :

$X={\frac {f}{R}}\left(H-H.e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)$

Soit, en revenant aux fonctions :

$I(t)=H(t){\frac {f}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R.t}{L}}}\right)$

La méthode que l’on vient d’utiliser pour résoudre une équation de convolution s’appelle « méthode de Green ». Son inconvénient principal est qu'elle ne permet pas d'obtenir toutes les solutions de l'équation de convolution, mais seulement celles qui appartiennent à ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$.