Topologie générale/Adhérence, intérieur

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Soient $E$ un espace topologique et $A,B$ deux parties de $E$.

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Adhérence

Définitions : adhérence, point adhérent, partie dense

• Un point $x$ de $E$ est dit adhérent à $A$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$.
• L'adhérence de $A$, notée ${\overline {A}}$, est l’ensemble des points adhérents à $A$. On l'appelle aussi fermeture ;
• on dit que $A$ est dense dans $E$ si ${\overline {A}}=E$, ou encore, si $A$ rencontre tout ouvert non vide de $E$.

Début de l'exemple

Exemples

• Pour la topologie usuelle sur $\mathbb {R}$, on a ${\overline {\left]0,1\right[}}={\overline {\left[0,1\right[}}=\left[0,1\right]$ et ${\overline {\mathbb {Q} }}={\overline {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$.
• Dans une topologie discrète, seuls les points de $A$ sont adhérents à $A$.
• Dans une topologie grossière, toute partie non vide est dense.
• Si $A$ est une partie d'un sous-espace $X$ de $E$, l'adhérence de $A$ dans $X$ (pour la topologie induite) est égale à ${\overline {A}}\cap X$ (donc $A$ est dense dans $X$ si et seulement si ${\overline {A}}={\overline {X}}$).

Fin de l'exemple

Proposition

L'adhérence de $A$ est le plus petit fermé contenant $A$.

Démonstration

$x\in {\overline {A}}\Leftrightarrow$ pour tout ouvert O contenant $x$, O rencontre $A\Leftrightarrow$ pour tout fermé $F$ ne contenant pas $x$, $A$ n'est pas tout entier inclus dans $F\Leftrightarrow$ pour tout fermé $F$ contenant $A$, $x\in F$.

Ainsi, ${\overline {A}}$ est l'intersection des fermés contenant $A$. Puisque l'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de fermés est un fermé, cette intersection est le plus petit fermé contenant $A$.

 

Corollaire

• $A\subset {\overline {A}}$, avec égalité si et seulement si $A$ est fermé.
• ${\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}$.
• ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ (donc $A\subset B\Rightarrow {\overline {A}}\subset {\overline {B}}$, donc ${\overline {A\cap B}}\subset {\overline {A}}\cap {\overline {B}}$).

On peut partitionner l'adhérence d'une partie en deux types de points :

Définitions : point isolé, point d'accumulation

• Un point $x$ de $E$ est un point d'accumulation de $A$ si tout voisinage de $x$ contient un point de $A$ distinct de $x$.
• Un point de $A$ est isolé s'il n'est pas un point d'accumulation de $A$.

Intérieur

Définition : intérieur

Dans un espace topologique, un point $x$ est intérieur à $A$ si $A$ est un voisinage de $x$. On appelle intérieur de $A$ l’ensemble des points intérieurs à $A$ et on le note ${\stackrel {\ \circ }{A}}$ ou $\operatorname {int} (A)$.

Début de l'exemple

Exemples

• Pour n'importe quelle topologie, $\operatorname {int} (\varnothing )=\varnothing$.
• Pour la topologie grossière sur $E$, l'intérieur de toute partie $A\subsetneq E$ est vide.
• Pour la topologie usuelle sur $\mathbb {R}$ :
  • l'intérieur de $\left[0,1\right]$ est $\left]0,1\right[$ ;
  • tout singleton est d'intérieur vide ;
  • $\mathbb {Q}$ et $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ sont d'intérieur vide.

Fin de l'exemple

Proposition

L'intérieur de $A$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$.

Démonstration

$x\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\Leftrightarrow x$ appartient à un ouvert inclus dans $A$. Ainsi, ${\stackrel {\ \circ }{A}}$ est la réunion des ouverts inclus dans $A$.

Puisque la réunion d'une famille quelconque (finie ou infinie) d'ouverts est un ouvert, cette réunion est le plus grand ouvert inclus dans $A$.

 

Corollaire

• ${\stackrel {\ \circ }{A}}\subset A$, avec égalité si et seulement si $A$ est ouvert, donc
  $A$ est un ouvert si et seulement si $A$ est voisinage de chacun de ses points.
• ${\stackrel {\ \circ }{\stackrel {\ \circ }{A}}}={\stackrel {\ \circ }{A}}$.
• l'intérieur de $A\cap B$ est ${\stackrel {\ \circ }{A}}\cap {\stackrel {\ \circ }{B}}$ (donc $A\subset B\Rightarrow {\stackrel {\ \circ }{A}}\subset {\stackrel {\ \circ }{B}}$, donc ${\stackrel {\ \circ }{A}}\cup {\stackrel {\ \circ }{B}}$ est inclus dans l'intérieur de $A\cup B$).
• le complémentaire de ${\bar {A}}$ est l'intérieur du complémentaire de $A$.

Frontière

Définition : frontière

On appelle frontière de $A$, et l’on note $\partial A$ ou $\mathrm {Fr} (A)$, l’ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire.

D'autres définitions sont possibles :

• $\partial A={\bar {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$
• la frontière de A est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre A et son complémentaire.

Début d’un théorème

Propriétés de la frontière

• La frontière d'un ensemble est un fermé.
• La frontière d'un ensemble est égale à celle de son complémentaire.
• Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
• Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.

Fin du théorème

Démonstration

• c'est une conséquence de $\mathrm {Fr} (A)={\overline {A}}\cap {\overline {E\setminus A}}$ (l'intersection de deux fermés étant un fermé).
• les rôles de A et E\A sont identiques.
• Une partie A est fermée si et seulement si elle contient A, ou encore — puisque A contient toujours son intérieur — si et seulement si $A\supset {\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}=\mathrm {Fr} (A).$
• D'après les deux points précédents, A est à la fois ouvert et fermé si et seulement si $\mathrm {Fr} (A)\subset A\cap (E\setminus A)=\varnothing .$