Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre

Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre
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Exercices no2
Leçon : Trace et transposée de matrice
Chapitre du cours : Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Propriétés de la trace
Exo suiv. :Calcul de l'équation d'une droite de régression
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Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre
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Exercice 2-1Modifier

Résoudre au mieux le système suivant :

 


Exercice 2-2Modifier

Après le décès d'une mère célibataire, ses trois enfants sont convoqués chez le notaire pour l'ouverture du testament. Voici le testament lu par le notaire :

 

Testament de Ursule Nullenmat.

Moi, Ursule Nullenmat, saine de corps et d'esprit, souhaite partager ma fortune de 8 400  entre mes trois enfants : Claire, Victor et Laure. Je souhaite que Laure ait 4 500  de plus que Claire. Je souhaite aussi que Victor ait trois fois plus que Claire et que Laure ait deux fois plus que Victor.

Quelle somme va attribuer le notaire à chacun des trois enfants pour satisfaire au mieux les volontés d'Ursule ?

Exercice 2-3Modifier

Humour : un chamelier lègue ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder pour que le partage soit juste ?


Exercice 2-4Modifier

Ce chamelier, qui ne connaissait pas la méthode des matrices transposées mais seulement celle des différentielles partielles, pense pouvoir, en les utilisant, léguer ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire toujours que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder, à l'aide des différentielles, pour que le partage soit aussi juste que dans l'exercice 2-3 et vont-ils obtenir même résultat?

Exercice 2-5Modifier

(généralisation de l'exercice précédent)
Soit un système quelconque de trois équations à deux inconnues.
Vérifiez que l’on obtient bien le même résultat, que l’on applique la méthode de cette leçon ou que l’on applique la méthode consistant à annuler les dérivées partielles de la somme des carrés des différences des deux membres.


Exercice 2-6Modifier

 

(On remarque que le deuxième système a été obtenu à partir du premier en multipliant les deux membres de la première équation par 2.)

a) Résoudre au mieux ces deux systèmes. Que constate-t-on ?

b) Montrer que la solution de chacun des systèmes ne convient pas à l'autre système.

c) Conclure.