Transformée de Laplace en physique/Qu'appelle-t-on transformée de Laplace ?

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I. Définition de la transformée de Laplace :

Soit $E$ une équation différentielle ordinaire que nous voulons résoudre, la variable dépendante étant $y=f(t)$, et formons l'intégrale suivante :

$\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$

En l'intégrant, sous réserve d'existence, il en résulte une fonction de la variable $s$ que nous pouvons noter :

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$

On appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction $F(s)$ .

Cette fonction $F(s)$ est souvent notée ${\mathfrak {L}}(f)$ où le caractère ${\mathfrak {L}}$ dénote l'opérateur de Laplace.

La transformée de Laplace inverse sera par ailleurs dénotée ${\mathfrak {L}}^{-1}$ et vaut : ${\mathfrak {L}}^{-1}(F)=f(t)$.

II. Existence de la transformée de Laplace :

Nous avons vu que la définition de la transformée de Laplace est fondée sur l’existence de l'intégrale $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$.

Cette intégrale existe si deux conditions sont remplies. D'une part, la fonction $f$ doit bien se comporter sur son domaine de définition. En effet que se passe-t-il si $\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=+\infty$ ?

D'autre part, l'intégrale $\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\ dt$ doit être convergente. Nous évitons la divergence de celle-ci d’une part si $f$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty [$ et d’autre part s'il existe une quantité $M$ telle que $\mid f(t)\mid <Me^{bt}$.

Exercice : montrer que si une telle fonction existe alors sa transformée de Laplace est bornée par le quotient ${\frac {M}{s-b}}$. Conclusion ?

Ainsi, on admettra malgré cette restriction que dans la plupart des systèmes physiques étudiés la transformée de Laplace existe. Mais souvenons nous que notre problème ne s'arrête pas là. Qu'en est-il de la transformée de Laplace inverse ? Pour répondre à cette question, montrons que cette restriction sur $f$ et donc l’existence de la transformée de Laplace ne permet pas toujours de garantir un retour à la fonction f. En effet, le produit $sF(s)$ est borné lorsque $s$ tend vers l'infini. Il s'en suit naturellement que $\lim _{s\rightarrow \infty }F(s)=0$. Autrement dit, une fonction telle que $F(s)=1$ ne représente pas une transformée de Laplace. Dans la suite de ce cours nous supposerons donc que notre fonction $f(t)$ satisfait aux deux conditions :

• f est continue par morceaux sur $[0,+\infty [$ ;
• $\mid f(t)\mid <Me^{bt}$.

III. Trois propriétés de la transformée de Laplace en exercice :

Nous vous proposons en guise d'exercices, de démontrer trois propriétés utiles de la transformée de Laplace.

• Exercice 1 : linéarité de la transformée de Laplace.

La transformée de Laplace d'une fonction est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que si $h(t)=af(t)+bg(t)$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $f$, $g$ des fonctions de la variable $t$, alors ${\mathfrak {L}}[h]=a{\mathfrak {L}}[f]+b{\mathfrak {L}}[g]$ . Démontrer ce résultat.

• Exercice 2 : translation en s de la transformée de Laplace.

Soit $g(t)=e^{at}f(t)$ où $f$ est une fonction de la variable $t$ et dont la transformée de Laplace existe. Montrer en effectuant un changement de variable simple que ${\mathfrak {L}}[g(t)]=F(s-a)$ . Cette propriété est appelée translation en s.

• Exercice 3 : translation en t de la transformée de Laplace.

Montrer que si la transformée de Laplace d'une fonction $f$ existe, est telle que ${\mathfrak {L}}[f]=F(s)$ et si, de plus $g(t)={\begin{cases}f(t-a),&{\mbox{si }}t>a\\0,&{\mbox{si }}t<a\\\end{cases}}$, alors la transformée de Laplace de g est ${\mathfrak {L}}[g]=e^{-at}F(s)$. Cette propriété est appelée translation en t. Ces trois propriétés, la linéarité, la translation en s, et la translation en t, nous seront utiles pour calculer la transformée de Laplace des fonctions usuelles.

IV. Exemples pratiques de calcul de la transformée de Laplace :

Avec l'aide de ces trois propriétés, nous allons procéder au calcul des transformées de Laplace de fonctions classiques.

• Soit la fonction échelon unité de Heaviside $u_{0}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t\geq 0\\0,&{\mbox{si }}t<0\\\end{cases}}$

Utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous trouvons évidemment : ${\mathfrak {L}}[u_{0}]=\int _{0}^{\infty }u_{0}(t)e^{-st}\ dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\ dt={\frac {1}{s}}$ Exercice : montrer que ${\mathfrak {L}}[1]={\frac {1}{s}}$.

• Soit la fonction exponentielle $f(t)=e^{at}$ et employons la propriété de translation en $s$ :

${\mathfrak {L}}[e^{at}]=F(s-a)$ montre que $F(s)={\frac {1}{s}}$. Or par simple substitution de $s$ par $s-a$, on en conclut que ${\mathfrak {L}}[e^{at}]={\frac {1}{s-a}}$ Exercice : en utilisant la propriété de translation dans le temps, montrer que la fonction échelon unité $u_{a}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>a\\0,&{\mbox{si }}t<a\\\end{cases}}$ a pour transformée de Laplace ${\mathfrak {L}}[u_{a}]={\frac {1}{s}}e^{-as}$

• Soient $f$ et $g$ les fonctions telles que $f(t)=\sin {\omega t}$ et $g(t)=\cos {\omega t}$ .

Nous allons employer la relation d'Euler $e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }$, ainsi que les propriétés de translation en $s$ et de linéarité de la transformée de Laplace pour calculer ${\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]$ et ${\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]$.

Par translation en s, il vient : ${\mathfrak {L}}[e^{i\omega t}]={\frac {1}{s-i\omega }}={\frac {1}{s-i\omega }}{\frac {s+i\omega }{s+i\omega }}={\frac {s+i\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}={\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+i{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$.

Par linéarité de la transformée de Laplace, nous avons : ${\mathfrak {L}}[e^{i\omega t}]={\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}+i\sin {\omega t}]={\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]+{\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]$.

Enfin en identifiant les parties réelle et imaginaires de deux précédents résultats, nous obtenons : ${\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]={\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$ et ${\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]={\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$.

Notez que ces deux résultats peuvent aussi être obtenus en utilisant directement la définition de la transformée de Laplace et en intégrant deux fois par parties. Exercice : Calculer les transformées de Laplace ${\mathfrak {L}}[\sin {\omega t}]$ et ${\mathfrak {L}}[\cos {\omega t}]$ par cette dernière méthode.

• Soit $f$ le monôme défini par $f(t)=t^{k}$.

La transformée de Laplace de $t^{k}$ est donnée par ${\mathfrak {L}}[t^{k}]=\int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-st}\ dt$.

Pour intégrer cela, faisons la substitution suivante : $u=st$ et $dt={\frac {du}{s}}$ :

${\mathfrak {L}}[t^{k}]=\int _{0}^{\infty }t^{k}e^{-st}\ dt={\frac {1}{s^{k+1}}}\int _{0}^{\infty }u^{k}e^{-u}\ du={\frac {1}{s^{k+1}}}\Gamma (k+1)$, où $\Gamma$ est la fonction Gamma.

Comme $k$ est un entier, nous avons la propriété suivante : $\Gamma (k+1)=k!$, et donc nous obtenons :

${\mathfrak {L}}[t^{k}]={\frac {k!}{s^{k+1}}}$ Exercice : Former une fonction polynôme de votre choix et calculer sa transformée de Laplace.

• Soit $f$ la fonction cosinus hyperbolique $f(t)=\cosh {\omega t}$ et employons la propriété de linéarité pour calculer la transformée de Laplace :

On a par définition : $\cosh {\omega t}={\frac {1}{2}}(e^{\omega t}+e^{-\omega t})$.

Sa transformée de Laplace est alors : ${\mathfrak {L}}[\cosh {\omega t}]={\mathfrak {L}}[{\frac {1}{2}}e^{\omega t}+{\frac {1}{2}}e^{-\omega t}]={\frac {1}{2}}{\mathfrak {L}}[e^{\omega t}]+{\frac {1}{2}}{\mathfrak {L}}[e^{-\omega t}]$.

Or ${\mathfrak {L}}[e^{\omega t}]={\frac {1}{s-\omega }}$ et ${\mathfrak {L}}[e^{-\omega t}]={\frac {1}{s+\omega }}$.

Ainsi, il vient que : ${\mathfrak {L}}[\cosh {\omega t}]={\frac {1}{2(s-\omega )}}+{\frac {1}{2(s+\omega )}}={\frac {s}{s^{2}-\omega ^{2}}}$. Exercice : calculer de la même manière ${\mathfrak {L}}[\sinh {\omega t}]$.

• Soit $f$ la fonction définie par $f(t)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}t<a\\A,&{\mbox{si }}a<t<b\\0,&{\mbox{si }}b<t\\\end{cases}}$ . Alors, nous pouvons réécrire cette fonction sous la forme $f(t)=Au_{a}(t)-Au_{b}(t)$ et employer la propriété de linéarité pour calculer la transformée de Laplace de $f$.

Exercice : Effectuer ce calcul.

• Par extension de l'exemple précédent, on peut définir l'impulsion de Dirac $\delta _{a}$comme étant la limite lorsque $\epsilon$ tend vers $0$ de la fonction suivante :

$f(t)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}t<a\\{\frac {1}{\epsilon }},&{\mbox{si }}a<t<a+\epsilon \\0,&{\mbox{si }}a+\epsilon <t\\\end{cases}}$

Pour calculer la transformée de Laplace de l'impulsion de Dirac $\delta _{0}$ définie comme ci-dessus avec $a=0$, le calcul de l'exemple précédent dans le cas où $A={\frac {1}{\epsilon }}$ conduit à ${\mathfrak {L}}[f]={\frac {1}{s\epsilon }}[1-e^{-s\epsilon }]$.

Pour déterminer la limite lorsque $\epsilon$ tend vers $0$, nous avons besoin du développement en série de Taylor de $e^{-s\epsilon }$. Cela donne :

$e^{-s\epsilon }=1-s\epsilon +{\frac {s^{2}\epsilon ^{2}}{2!}}-{\frac {s^{3}\epsilon ^{3}}{3!}}+...$

Cette série peut se réécrire comme suit :

${\frac {1-e^{-s\epsilon }}{s\epsilon }}=1-{\frac {s\epsilon }{2!}}-{\frac {s^{2}\epsilon ^{2}}{3!}}+...$ Cette expression tend vers l'unité lorsque $\epsilon$ tend vers $0$ et donc ${\mathfrak {L}}[\delta _{0}]=1$. Remarque très importante : ce résultat ${\mathfrak {L}}[\delta _{0}]=1$ contredit le fait que $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\mathfrak {L}}[f]=0$ , établi dans la section 1 de ce cours. Or, au sens mathématique stricte, $\delta _{0}$ n'est pas une fonction et ces difficultés logiques requierent la notion de distributions, un sujet que nous n'étudions pas dans ce cours. Exercice : Si l'impulsion de Dirac a lieu en $t=a$, que vaut sa transformée de Laplace ?

V. Travail dirigé d'approfondissement :

Ce travail d'approfondissement est constitué de deux problèmes dirigés. Nous vous conseillons bien évidemment fortement de résoudre ces deux problèmes.

• Problème 1 :

Soit la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par $f(t)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}t<1\\t^{2},&{\mbox{si }}1<t<2\\0,&{\mbox{si }}2<t\\\end{cases}}$. Le but de ce problème est de calculer la transformée de Laplace de la fonction $f$. En utilisant la définition de la transformée de Laplace et les résultats établis précédemment pour les fonctions usuelles, répondre aux question suivantes : 1) Est-ce que la fonction $g(t)=|f(t)e^{-st}|$ est bornée ? Si oui, par quelle valeur ? Que pouvez-vous en conclure sur l’existence de la transformée de Laplace de $f$ ? 2) En utilisant la fonction échelon unité de Heaviside aux points $t=1$ et au point $t=2$, comment peut-on réécrire la fonction $f$ ? 3) Peut-on appliquer les propriétés de linéarité et de translation en $t$ à l’expression trouvée en 2) ? Si oui, expliciter l’expression obtenue. 4) Au vu des résultats des questions précédentes, quelle est l’expression de la transformée de Laplace de $f$ ?

• Problème 2 :