Triangles et parallèles/Théorème des milieux

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Remarque : Sur les figures, on a tracé en vert les hypothèses des théorèmes, et en rouge les conclusions.

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Droite des milieux

Début d’un théorème

Théorème

La droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :

$AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}\ ;\ AC=14{\text{ cm}}\ ;\ AJ=7{\text{ cm}}$.

Démontrer que (IJ) et (BC) sont parallèles.

Solution

On a $AB=2\times AI$ et $I\in [AB]$ donc I est le milieu de [AB] ; de même $AC=2\times AJ$ et $J\in [AC]$ donc J est le milieu de [AC] ; d’après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle à (BC).

 

Fin de l'exemple

Théorème réciproque des milieux

Début d’un théorème

Théorème

La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle parallèlement à un second côté coupe le troisième côté en son milieu.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Dans la figure ci-contre, on sait que :

• (IJ) et (BC) sont parallèles.
• $AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}$.

Démontrer que J est le milieu de [AC].

Solution

On a :

• $AB=2\times AI$ et $I\in [AB]$ donc I est le milieu de [AB] :
• (IJ) et (BC) sont parallèles

donc d’après la réciproque du théorème des milieux,

J est le milieu du troisième côté [AC].

 

Fin de l'exemple

Propriété métrique des milieux

Propriété

Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.

Début de l'exemple

Exemple 1

Dans la figure ci-contre, on donne les longueurs :

$AB=15{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{,}5{\text{ cm}}\ ;\ AC=14{\text{ cm}}\ ;\ AJ=7{\text{ cm}}\ ;\ BC=10{\text{ cm}}$.

Combien vaut IJ ? Justifier.

Solution

On a $AB=2\times AI$ et $I\in [AB]$ donc I est le milieu de [AB] ; de même $AC=2\times AJ$ et $J\in [AC]$ donc J est le milieu de [AC] ; d’après la propriété métrique des milieux : $IJ={\frac {BC}{2}}={\frac {10}{2}}=5{\text{ cm}}$.

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple 2

Dans la figure ci-contre, on sait que :

• (IJ) et (BC) sont parallèles.
• $AB=14{\text{ cm}}\ ;\ AI=7{\text{ cm}}\ ;\ BC=12{\text{ cm}}$

Combien vaut IJ ? Justifier.

Solution

On a :

• $AB=2\times AI$ et $I\in [AB]$ donc $I$ est le milieu de [AB] ;
• (IJ) et (BC) sont parallèles

donc d’après la réciproque du théorème des milieux,

J est le milieu du troisième côté [AC].

D’après la propriété métrique des milieux, on a donc :

$IJ={\frac {BC}{2}}={\frac {12}{2}}=6{\text{ cm}}$.

 

Fin de l'exemple