Utilisateur:Anna Simonn/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité E

Réseau

Reseau

Composantes

I. Les composantes fortement connexe sont marqués par des rectangles verts. Ce sont:

• a, d et f
• b
• c
• e

II.

[a, d, f] - les nœuds d et f sont connectés entre eux et ils se transmettent leurs matières, mais reçoivent également des composantes connexes e et b. Et cette composante connexe donne une partie de sa matière à c.

[b] - Cette composante connexe donne toute sa matière à d'autres 3 composantes connexes et ne reçoit aucune. Ça perd toute sa matière dès la première itération

[e] - Cette composante connexe donne [a,d,f] et reçoit de c.

[c] - Cette composante connexe reçoit de la matière de 2 composante connexe et ne donne à aucun. Finalement il accumule toute la matière.

Vecteur propre et PageRank

I.

La matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle

$A={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&1&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}},$$M={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&1/3&1/3&1/3&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$, $M^{T}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0\\0&1/3&0&1/2&0&0\\1&1/3&0&0&0&0\\0&1/3&0&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

Vecteur de matière distribuant également une matière totale de 6

$V0={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

Itération de la centralité de vecteur propre

$M^{T}V0={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0\\0&1/3&0&1/2&0&0\\1&1/3&0&0&0&0\\0&1/3&0&0&0&0\\0&0&0&1/2&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12/6\\0\\5/6\\8/6\\2/6\\3/6\\\end{pmatrix}}$

Total = 30/6 = 5. On a perdue on a perdu une matière égale à 1. C'est parce que le nœud c n'a pas d'issue. Alors, on considère qu'il est connecté à tous les autres nœuds et on refait les calculs.

$A={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&1&0\\1&1&0&1&1&1\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}},$$M={\begin{pmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&1/3&1/3&1/3&0\\1/5&1/5&0&1/5&1/5&1/5\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\end{pmatrix}},$$M^{T}={\begin{pmatrix}0&0&1/5&0&1&1\\0&0&1/5&0&0&0\\0&1/3&0&1/2&0&0\\1&1/3&1/5&0&0&0\\0&1/3&1/5&0&0&0\\0&0&1/5&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

$M^{T}V0={\begin{pmatrix}0&0&1/5&0&1&1\\0&0&1/5&0&0&0\\0&1/3&0&1/2&0&0\\1&1/3&1/5&0&0&0\\0&1/3&1/5&0&0&0\\0&0&1/5&1/2&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}66/30\\6/30\\25/30\\46/30\\16/30\\21/30\\\end{pmatrix}}$

Total = 180/30 = 6. On vérifie que la matière totale n'a pas changé.

II. Pour éviter l'accumulation de matière dans certains nœuds uniquement, on redistribue la matière.

$0.9*V0+0.1=9/10*{\begin{pmatrix}66/30\\6/30\\25/30\\46/30\\16/30\\21/30\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1872/900\\252/900\\765/900\\1332/900\\522/900\\657/900\\\end{pmatrix}}$

Total = 5400/900 = 6. On vérifie que la matière totale n'a pas changé.

Graphe de blocs

I. La matrice d'adjacence

$A(H1)={\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}},A(H2)={\begin{pmatrix}1&5\\1&0\end{pmatrix}}$si on considère les liens internals

$A(H1)={\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}},A(H2)={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}$ si on ne considère pas les liens internals

II. Je pense que H1 simplifie davantage G, car la répartition de la matière entre 2 blocs est plus équilibrée. Alors que dans le cas de H2 toute la matière s'accumule dans le bloc B2.

Graphe de blocs