Utilisateur:Antoine Thomann/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité E

Mon nom est Antoine Thomann. Soit L1 = A et L2 = H.
J'ai décidé de retirer le lien allant de A vers D, et de rajouter un lien allant de H vers C.

Représentation du graphe

Question n°1

J'identifie les composantes connexes suivantes :

• [A, B, E]
  
• [C, G, H]
  
• [D]
  
• [F]

Question n°2

La matrice initiale A est la suivante :

$A={\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$

La matrice distribuée est la suivante :

$M={\begin{pmatrix}0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0\\\end{pmatrix}}$

La matrice transposée est la suivante :

$MT={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$

La centralité du vecteur propre s'obtient grâce à la multiplication de MT par la densité de matière de chaque nœud:

${\begin{pmatrix}P'A\\P'B\\P'C\\P'D\\P'E\\P'F\\P'G\\P'H\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}PA\\PB\\PC\\PD\\PE\\PF\\PG\\PH\\\end{pmatrix}}$

Question n°3

Détermination de la densité de matière

On distribue une matière m=1 entre les différents nœuds :

${\begin{pmatrix}PA\\PB\\PC\\PD\\PE\\PF\\PG\\PH\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\end{pmatrix}}$

Première itération

Pour la première itération, on a :

$i1=MT*PI={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{4}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{4}}\right)\\0\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On multiplie ensuite par s=0,9 :

${\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{4}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{4}}\right)\\0\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{16}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {3}{16}}\right)\\\end{pmatrix}}*0,9={\begin{pmatrix}\left({\frac {9}{40}}\right)\\\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {9}{40}}\right)\\0\\\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {9}{160}}\right)\\\left({\frac {9}{80}}\right)\\\left({\frac {27}{160}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On distribue ensuite s-1=0,1 entre les différents nœuds, soit $\left({\frac {1}{80}}\right)$ à ajouter pour chaque nœud :

${\begin{pmatrix}\left({\frac {19}{80}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {19}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {29}{160}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On vérifie ensuite si la matière reste constante :

$pi1=\left({\frac {19}{80}}\right)+\left({\frac {11}{160}}\right)+\left({\frac {19}{80}}\right)+\left({\frac {1}{80}}\right)+\left({\frac {11}{160}}\right)+\left({\frac {11}{160}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {29}{160}}\right)=1$

Ainsi, la matière reste constante.

Seconde itération

Pour la seconde itération, on a :

$i2=MT*i1={\begin{pmatrix}0&0&0&0&1&1&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0&0\\\left({\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)\\0&0&\left({\frac {1}{2}}\right)&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}\left({\frac {19}{80}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {19}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {11}{160}}\right)\\\left({\frac {1}{8}}\right)\\\left({\frac {29}{160}}\right)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\left({\frac {11}{80}}\right)\\\left({\frac {19}{160}}\right)\\\left({\frac {1}{4}}\right)\\0\\\left({\frac {11}{320}}\right)\\\left({\frac {1}{160}}\right)\\\left({\frac {67}{320}}\right)\\\left({\frac {39}{160}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On multiplie ensuite par s=0,9 :

${\begin{pmatrix}\left({\frac {11}{80}}\right)\\\left({\frac {19}{160}}\right)\\\left({\frac {1}{4}}\right)\\0\\\left({\frac {11}{320}}\right)\\\left({\frac {1}{160}}\right)\\\left({\frac {67}{320}}\right)\\\left({\frac {39}{160}}\right)\\\end{pmatrix}}*0,9={\begin{pmatrix}\left({\frac {99}{800}}\right)\\\left({\frac {171}{1600}}\right)\\\left({\frac {9}{40}}\right)\\0\\\left({\frac {99}{3200}}\right)\\\left({\frac {9}{1600}}\right)\\\left({\frac {603}{3200}}\right)\\\left({\frac {351}{1600}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On distribue ensuite s-1=0,1 entre les différents nœuds, soit $\left({\frac {1}{80}}\right)$ à ajouter pour chaque nœud :

${\begin{pmatrix}\left({\frac {109}{800}}\right)\\\left({\frac {191}{1600}}\right)\\\left({\frac {19}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {139}{3200}}\right)\\\left({\frac {29}{1600}}\right)\\\left({\frac {643}{3200}}\right)\\\left({\frac {371}{1600}}\right)\\\end{pmatrix}}$

On vérifie ensuite si la matière reste constante :

$pi2=\left({\frac {109}{800}}\right)+\left({\frac {191}{1600}}\right)+\left({\frac {19}{80}}\right)+\left({\frac {1}{80}}\right)+\left({\frac {139}{3200}}\right)+\left({\frac {29}{1600}}\right)+\left({\frac {643}{3200}}\right)+\left({\frac {371}{1600}}\right)=1$

Ainsi, on observe que la matière reste constante.

Question bonus

On pourrait la représenter ainsi :

$0,9*VM+{\begin{pmatrix}\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\left({\frac {1}{80}}\right)\\\end{pmatrix}}$