Utilisateur:Bercier/Brouillon 2

colorimétrie

Je travaille sur les lumières depuis plusieurs années avec plusieurs milliers d'heures d'études. Je suis arrivé à comprendre à peu près tous les calculs du diagramme de chromaticité xy auquel on peut adjoindre la luminance Y et à pouvoir en refaire toutes les démonstrations partant des expériences de WRIGHT et GUILD et des courbes de sensibilités V1924 ou V1964 ou V1978. Je cherche à présenter au mieux ma contribution et je peux avoir besoin d'aide pour la présentation. MERCI.

Triangle de MAXWELL calculé avec (r1,g1,b1) de WRIGHT pour 460nm 520nm 640nm

Préambule pour les non-experts

Newton en 1666, a décomposé la lumière avec un prisme et l'a recomposée en plaçant un second prisme (ce qui revient à placer une plaque de verre sur le trajet de la lumière qui la traverse donc sans modification).

Young en 1801 a recomposé de la lumière blanche à partir de 3 lumières rouge verte et bleue.

On peut être étonné qu'en l'espace de plus de 100 ans les études sur la lumière n'aient guère avancées. En France vers 1793 les académiciens s'opposent aux exposés de Marat sur ce sujet après avoir accepté sa traduction anonyme des études de Newton en 1787.

Maxwell en 1855, a mesuré la quantité de lumière blanche qu’il faut ajouter à une lumière monochromatique pour égaliser un mélange de 2 primaires et a constaté que cette mesure est faible ; le fait que cette mesure ne soit pas nulle différencie la colorimétrie du triangle de Maxwell. On voit, en particulier que Maxwell aurait pu étudier la quantité de lumière blanche qu’il faut ajouter à deux lumières d'intensité variable, rouge et violette, situées aux deux extrémités du spectre pour égaliser les 2 primaires rouge et bleue. Donc suivant la technique de Maxwell, on pourrait faire des mesures sur les lumières non spectrales dites improprement pourpres (mauvaise traduction de l'anglais purple), en particulier le magenta.

La colorimétrie veut remplacer une lumière quelconque définie par son spectre par 3 nombres x,y (x,y définissant la chromaticité et permettant de calculer la longueur d'onde correspondante ,ou complémentaire pour les pourpres non saturés ou saturés) et Y la luminance (luminosité pour le profane).

Un document de référence très important est celui de BROADBENT qui explique en partie comment à partir des expérimentations de WRIGHT et GUILD on arrive à CIE1931 xyY 2°.

Calculation from the original experimental data of the CIE 1931 RGB standard observer spectral chromaticity:Co-ordinates and color matching functions, By A.D. Broadbent,Département de génie chimique, Université de Sherbrooke,Québec,Canada J1K 2R1 Description of the data obtened by Wright.

Pour voir les documents de Broadbent :

1. http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/1931.php
2. texte:cliquer sur:CIE1931_RGB.pdf
3. tableur:cliquer sur:Cie1931_RGB_v2.xls
4. texte seulement:http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/broadbent/CIE1931_RGB.pdf

Autres documents :

1. CVRL Color & Vision database CIE (1931) 2 et 10 deg. color matching functions(λ): xbar ybar zbar: http://www.cvrl.org.
2. http://sellig.zed.myriapyle.net/ Restitution formelle de la théorie sous-jacente à la norme colorimétrique XYZ CIE 1931 Calcul de la matrice de passage de RGB à XYZ par la résolution d'un système de 6 équations à 6 inconnues.Voir le synthétiseur de couleurs en HTML5.Ref 7.
3. http://www.photo-lovers.org/color.shtml.fr
4. Robert Sève :COLORIMETRIE :http://alasjourn.free.fr/Cours/Colorimetrie/Colorimetrie.htm
5. La fonction d'efficacité lumineuse de l'œil est également appelée sensibilité de l'œil .

Voir aussi: http://cours.dirphot.free.fr/documents_divers/Colorimetrie.pdf Voir page 8.Ce dernier document est extrait de DEDE75007.

Bibliographie

1. A.RE-DETERMINATION OF THE TRICHROMATIC COEFFICIENTS OF THE SPECTRAL COLOURS BY W.D.WRIGHT MS,received,7th February,1929 Read and discussed,14th March ,1929. pages 141-164 dans Transactions of the Optical Society, vol. 30, no 4, 1er mars 1929
2. A.RE-DETERMINATION OF THE MIXTURE CURVES OF THE SPECTRUM MS,received,3 1stJanuary,1930. Read and discussed,10th April,1930. pages 201-218
3. THE COLORIMETRIC PROPERTIES OF THE SPECTRUM BY J.GUILD ,NATIONAL PHYSICAL LABORATORY (NPL) received february 19,1931-read april 30,1931.pages 149-187
4. CIE COLOR SPACE BY GERNOT HOFFMANN http://www.fho-emden.de/~hoffmann/ciexyz29082000.pdf
5. COULEUR VISION http://www.handprint.com/HP/WCL/color6.html

Étude du premier chapitre de Broadbent

texte seulement:http://www.cis.rit.edu/mcsl/research/broadbent/CIE1931_RGB.pdf

Les calculs sont faits en utilisant les opérations matricielles car elles permettent d’établir toutes les relations biunivoques entre les différentes fonctions colorimétriques et permettent des calculs par tableaux de valeurs.

CHANGEMENT des primaires NPL en primaires de WRIGHT

Les valeurs (r3,g3,b3) de Wright sont similaires aux valeurs de (r,g,b) de CIE 1931 que l’on obtient à partir des valeurs de (xbar,ybar,zbar),donc relatives aux primaires NPL :

$(r,g,b)={\frac {(rbar,gbar,bbar)}{(rbar+gbar+bbar)}}$

$(rbar,gbar,bbar)={(xbar,ybar,zbar)*M_{t}^{-1}}$

avec Mt la matrice (3,3) que l’on calculera page 12.

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}$

Ce que l’on peut écrire plus simplement,n1 étant la normalisation à l'unité c'est-à-dire la division de chaque terme de la ligne par la somme des 3 termes de la ligne:

(r,g,b)=((xbar,ybar,zbar)*Mt-1)n1

$(r,g,b)=({(xbar,ybar,zbar)*M_{t}^{-1}})n1$

Calcul de (r1,g1,b1) à partir de (r3,g3,b3)

On verra par la suite que l’on peut relier (r1,g1,b1) à (r,g,b) et à (xbar,ybar,zbar) et à (l,m,s) par des relations biunivoques. Le tableau (r3,g3,b3) à 3 décimales a été publié par Wright (de même que le tableau r2g2b2),et le tableau (r1,g1,b1) en découle simplement (de même que (r2,g2,b2)).

Aussi on est bien obligé de repartir des valeurs de (r3,g3,b3) pour calculer (r1,g1,b1) dont Wright ne donne qu'un diagramme.

Le tableau (r3,g3,b3) que nous noterons r3 donne les valeurs de r3,g3,b3 de 400nm à 700 nm de 10 en 10nm ; ce tableau qui comporte la primaire 700 nm peut être complété par les valeurs 0 et 1 pour ses 2 autres primaires 546,1 nm et 435,8 nm. Ce tableau correspondant aux 3 primaires NPL est appelé tableau I et correspond à la matrice Identité I(3,3).

Tableau I.

λ	r3	g3	b3
700.0nm	1.000	0.000	0.000
546.1nm	0.000	1.000	0.000
435.8nm	0.000	0.000	1.000

De ce tableau I on tire la matrice :

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=I$

On dresse le tableau T(3x3) des valeurs de r3,g3,b3 (Published by Wright) pour les primaires de WRIGHT : 650 nm 530 nm et 460 nm:

Tableau T.

λ	r3	g3	b3
650.0nm	0.990	0.010	0.000
530.0nm	-.502	1.453	0.049
460.0nm	-.075	0.041	1.034

De ce tableau T on tire la matrice :

${\begin{pmatrix}0.990&0.010&0.000\\-.502&1.453&0.049\\-.075&0.041&1.034\\\end{pmatrix}}=T$

Par inversion de la matrice $T$ notée $T^{-1}$ et division de chaque terme par la somme de la colonne (normalisation à l'unité des colonnes notée n1c) on obtient la matrice :$Q=(T^{-1})n1c$

n1c est la normalisation à l'unité suivant les colonnes c, c'est-à-dire la division de chaque terme des colonnes par la somme de la colonne:n1c=t)n1)t que l’on peut obtenir aussi par transposition puis division par la somme de la ligne (n1 normalisation à l'unité) puis à nouveau transposition

${\begin{pmatrix}1.007&-.007&0.000\\0.346&0.687&-.033\\0.059&-.028&0.968\\\end{pmatrix}}=T^{-1}$

Sommes des colonnes=S:

${\begin{pmatrix}1.412&+0.652&0.936\\\end{pmatrix}}=S$

Division de chaque terme par la somme de la colonne (normalisation à l'unité des colonnes notée n1c) on obtient la matrice :

$Q=(T^{-1})n1c$.

${\begin{pmatrix}0.713&-.011&0.000\\0.245&1.053&-.035\\0.042&-.043&1.034\\\end{pmatrix}}=Q$

On calcule R2=r3*Q qui effectue la première partie du changement des primaires NPL : 700 nm 546,1 nm et 435,8 nm en celles de WRIGHT 650 nm 530 nm et 460 nm .

Il faut noter que pour Wright les primaires NPL sont indiquées comme 546 nm et 435,5 nm et non 546,1 nm et 435,8 nm qui sont les valeurs NPL précises,ce qui semble confirmer que WRIGHT a utilisé des mesures directes de r1,g1,b1 pour les primaires NPL et non une interpolation.

Ensuite on calcule R1=R2*D:
Avec:D=d/0.333...=d/(1/3)=3d
d étant la matrice diagonale obtenue avec les proportions normalisées à 1 (ou pourcentages divisés par cent) soit (0.243 0.410 0.347) des primaires de WRIGHT pour obtenir le blanc NPL;la division par 0,333...peut être supprimée car la normalisation à l'unité n1 effectuée ensuite sur R1 la rend inutile.Mais nous gardons cette opération qui est plus exactement une division par 1/3 pour garder des termes diagonaux plus proches de 1 que de 1/3.

Avec:D=3d=d/(1/3)#d/0.333...

$d={\begin{pmatrix}0.243&0&0\\0&0.410&0\\0&0&0.347\\\end{pmatrix}}$

$D=3d={\begin{pmatrix}0.243/0.333...&0&0\\0&0.410/0.333...&0\\0&0&0.347/0.333...\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.729&0&0\\0&1.230&0\\0&0&1.041\\\end{pmatrix}}$

Puis on calcule r1=(R1)n1 (écriture équivalente à (R1,G1,B1)n1).

Soit S1=R1+G1+B1,alors r1=R1/S1;g1=G1/S1;b1=B1/S1
développe la normalisation à l'unité n1 qui consiste en la division de chacun des termes de la ligne par la somme de la ligne.

On arrive donc à r1=(r3*Q*D)n1 ; on trouve facilement que r1=(r3*QD)n1 ; QD représente la matrice résultant du produit Q*D ; et inversement r3=(r1*QD-1)n1 ; QD-1 représentant la matrice inverse de QD. QD-1 est également le tableau S(3x3) des valeurs de r1,g1,b1 que l’on obtient ainsi pour les primaires 700nm, 546.1nm et 435.8nm.

$QD={\begin{pmatrix}0.520&-.013&0.000\\0.179&1.296&-.036\\0.031&-.052&1.077\\\end{pmatrix}}$

On obtient ainsi le tableau de r1,g1,b1 qui est pratiquement identique à celui approché donné par BROADBENT:

(r1,g1,b1)=((r3,g3,b3)*QD)n1

λ	r1	g1	b1
700	1.025	-0.026	0.001
546,1	0,124	0,901	-0,025
435,8	0,029	-0,050	1,021

De ce dernier tableau obtenu pour la matrice I unité on tire la matrice P2.

$P2={\begin{pmatrix}1.0251&-.0258&0.0007\\0.1242&0.9010&-.0252\\0.0290&-.0496&1.0206\\\end{pmatrix}}$

On constate que l’on n'a pas eu besoin de l'interpolation par polynômes du 4 ème degré pour obtenir les valeurs de r1,g1,b1 pour les primaires NPL(700nm 546.1nm et 435.8nm).

Le tableau de (r1,g1,b1) donné avec 15 décimales est un tableau indiqué calculé par SHERBROOKE et ne peut donc avoir été publié par WRIGHT comme l'écrit BROADBENT.

WRIGHT a donné uniquement le diagramme (les 3 courbes)de r1,g1,b1 en fonction de λ.

On a donc montré que r1 et r3 sont reliés par une correspondance biunivoque:
(r1,g1,b1)=((r3,g3,b3)*QD)n1
(r3,g3,b3)=((r1,g1,b1)*QD-1)n1

ainsi que nous le montrerons de même pour toutes les valeurs CMF.

(r1,g1,b1),(r3,g3,b3),(rbar,gbar,bbar),XYZ,xyz,(xbar,ybar,zbar),lms,LMS

Comme Robert Sève le montre également en donnant (x,y,z) en fonction de (r,g,b) et inversement(page 17))

(r,g,b) de CIE1931 étant l'équivalent de (r3,g3,b3) de WRIGHT.

Une de ces séries de valeurs permet de retrouver toutes les autres:elles sont donc équivalentes et l’on peut représenter la vision humaine par l'une quelconque de ces séries de valeurs.

Recalcul de r3,g3,b3 en repartant de r1,g1,b1: Ceci reconstitue la démarche initiale de Wright,résultant des essais de ses 10 expérimentateurs.

On a démontré ci-dessus:
r3=(r1*QD-1)n1
c'est-à-dire:(r3,g3,b3)=((r1,g1,b1)*QD-1)n1
donc ce calcul est immédiat.

On retrouve ainsi exactement (à -5E-015 près au maximum) le tableau de r3g3b3 publié par WRIGHT,avec une seule différence de 0.001 pour 610nm où la somme de WRIGHT=0.999 donc il faut corriger r3(610nm)=0.903 et non 0.902;alors on trouve que la plus mauvaise précision est de -5E-015,donc une égalité parfaite,ce qui est normal puisque on calcule r1 avec r3 et r3 avec ce r1,donc la multiplication par une matrice et son inverse redonne les mêmes valeurs aux normalisations à l'unité prés.

En comparant les résultats des 10 expérimentateurs de WRIGHT soit r3 aux résultats de ses 7 expérimentateurs soit r5 ,GUILD constate leur équivalence .Ceci donne le tableau (r,g,b) publié par CIE1931 qui est le point de départ de la colorimétrie moderne .

Ce tableau rgb est donc la référence unique et primordiale de la colorimétrie (avec une légère variante pour un angle de vision de 10° donnant le même diagramme de chromaticité mais décalé de 5nm environ).

Pour obtenir d'autres fonctions colorimétriques (color matching functions CMF) on a besoin d'une autre entité:c'est la fonction de sensibilité de la vision humaine représentée par les fonctions V1924(2°),V1964(10°),V1978(2°),etc.etc.qui sont nombreuses.Donc pour chacune de ces fonctions sensibilité correspond un système colorimétrique particulier dont l'établissement résulte d'un calcul simple (mathématiquement trivial).

Calcul de r3,g3,b3 en partant directement de r1,g1,b1:

Ceci reconstitue la vraie démarche initiale de Wright, résultant des essais de ses 10 expérimentateurs.
Nous avons donc les valeurs de (r1,g1,b1) de 10 en 10nm de 400nm à 700nm, ainsi que pour les 3 primaires NPL 700nm 546.&nm et 435.8nm ,ce qui donne la matrice P2 vue précédemment, et qui aurait été déterminée par mesure directe des 36+10 expérimentateurs de Wright!!.

On pose Di=inverse D=D-1

On calcule la matrice P3=Di*(P2*Di)n1c

n1c=t)n1)t

n1c normalisation à l'unité, c'est-à-dire division de chacun des 3 termes des 3 colonnes par la somme des termes des colonnes respectives.

n& normalisation par rapport aux lignes et t transposition.

(R3,G3,B3)=(R1,G1,B1)*P3

(r3,g3,b3)=(R3,G3,B3)n1

CHANGEMENT direct des primaires de WRIGHT (650 530 460) en celles de CIE1931 NPL

D1=3d-1;r3=r1*(([(P13*D1)n1-1]t)n1*D1)t

Cependant le tableau (r,g,b) découlant de (xbar,ybar,zbar) est légèrement différent de ceux escomptés avec les résultats de Wright et les résultats de Guild pris séparément.Il en est la quintessence, peut être une moyenne un peu arrangée, donc il nous faut retrouver des valeurs de (r1,g1,b1) pour Wright et (r4,g4,b4) pour Guild qui soient en relation directe et la plus exacte avec (r,g,b).Pour cela on détermine au mieux les mélanges qui donnent le blanc NPL.

=Relation entre (r,g,b) de CIE1931xyY-2° et (r1,g1,b1) de WRIGHT=

(r,g,b) et (r3,g3,b3) donnent le même diagramme de chromaticité y(x) mais avec une différence de 2 nanomètres environ.

Tableau T.de WRIGHT.

λ	r3	g3	b3
650.0nm	0.990	0.010	0.000
530.0nm	-.502	1.453	0.049
460.0nm	-.075	0.041	1.034

Tableau T.de CIE1931

λ	r	g	b
650.0nm	0.989	0.011	0.000
530.0nm	-.515	1.475	0.040
460.0nm	-.091	0.052	1.039

Nous allons relier (r1,g1,b1) et (r,g,b) de façon plus précise en calculant un nouveau mélange m0 des primaires 650nm,530nm et 460nm pour donner le blanc NPL.

On sait que le mélange m=(0.243,0.41,0.347) des 36 expérimentateurs de WRIGHT avait d'énormes dispersions (0.15<0.243<0.35 0.32<0.41<0.54 0.11<0.347<0.53) [BROADBENT page 3] et a été calculé suivant un procédé géométrique arbitraire .On peut donc ,dans ces limites calculer m0.
(0.0r1g1b1WRIGHTetCIE1931mélangeR0.23G038B0.39.pdf

On trouve m0=(0.23,0.38,0.39)qui est bien dans les limites précédentes.
On pose D0=3d0*I(3x3), I(3x3)étant la matrice (diagonale) unité de rang 3.

$d0={\begin{pmatrix}0.23&0.38&0.39\\\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.23&0&0\\0&0.38&0\\0&0&0.39\\\end{pmatrix}}$

$D0=3d0=d0/0.333...{\begin{pmatrix}0.23/0.333...&0&0\\0&0.38/0.333...&0\\0&0&0.39/0.333...\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.69&0&0\\0&01.14&0\\0&0&1.17\\\end{pmatrix}}$

Et (r1,g1,b1)=(r,g,b)*Q*D0=(r,g,b)*QD0

$QD0=Q.D0={\begin{pmatrix}0.713&-0.011&0.000\\0.245&1.053&-0.035\\0.042&-0.043&1.034\\\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}0.69&0&0\\0&1.14&0\\0&0&1.17\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.492&-0.012&0\\0.169&1.201&-0.041\\0.031&-0.048&1.210\\\end{pmatrix}}$

(r1,g1,b1)=(r,g,b)*QD0

Si (r,g,b)=((x,y,z)*Mt-1)n1
(r1,g1,b1)=(r,g,b)*QD0=((x,y,z)*(Mt-1))n1*QD0)n1=((x,y,z)*((Mt-1)*QD0))n1
Posons M1x=(Mt-1)*QD0
Alors (r1,g1,b1)=((x,y,z)*M1x)n1
Et (x,y,z)=((r1,g1,b1)*(M1x-1))n1
M1x-1 étant l'inverse de la Matrice M1x

$\mathbf {M1x=Mt^{-1}*QD0=} {\begin{pmatrix}1.076&-0.647&0.028\\-0.200&1.724&-0.076\\-0.186&0.063&1.218\end{pmatrix}}$

On a donc une relation biunivoque entre r1g1b1 et xyz

Voir comparaison diagramme r1dexbar et r1WRIGHT.

Relation entre (r,g,b) de CIE1931xyY-2° et (r1,g1,b1) de WRIGHT

On a donc montré que les résultats des 10 expérimentateurs de WRIGHT redonnent (r,g,b)avec les primaires 630nm-530nm-460nm avec un mélange de m0=(0.23,0.38,0.39)

Relation entre (r,g,b) de CIE1931xyY-2° et (r4,g4,b4) de GUILD

En procédant de même on trouve que les 7 expérimentateurs de GUILD redonnent (r,g,b) avec les primaires 627.7nm-542nm -461.6nm avec un mélange de (0.345-0.315-0.34).

Relation entre (r,g,b) de CIE1931xyY-2° et STILES&BURCH

De même les 10 expérimentateurs de STILES et BURCH redonnent (r,g,b) avec les primaires 645.2nm-526.3nm-444.4nm avec un mélange de (0.075-0.34-0.585).

CMF (r,g,b) fonctions colorimétriques primaires 700nm 546.1nm 435.8nm CIE 1931 2°

Calcul de la matrice Mt

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}$

Pour l'exemple on considère V=V1924.
On part de l'identité (Id):
(Id) (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/(dr+eg+fb)
qui est vraie pour toutes valeurs de d,e,f

• DEMONSTRATION DE L'IDENTITE
  

Soit matdef la matrice vecteur colonne :

$\mathbf {matdef} ={\begin{pmatrix}d\\e\\f\end{pmatrix}}$

On a par définition:
(a) (xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt
On en extrait:
V1924=V=ybar=(rbar,gbar,bbar)*matdef (1)
Posons D=dr+eg+fb le dénominateur de (Id)
Alors D=(r,g,b)*matdef (2)
En remplaçant dans (Id),V et D par les valeurs (1) et (2)on obtient:
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(rbar,gbar,bbar)*matdef/((r,g,b)*matdef)(3)
On a (r,g,b)=(rbar,gbar,bbar)n1 :n1 est la normalisation à l'unité.
On pose s=rbar+gbar+bbar:
Alors (r,g,b)=(1/s)*(rbar,gbar,bbar) donc (rbar,gbar,bbar)=s*(r,g,b) (4)
En remplaçant (rbar,gbar,bbar) par cette valeur s*(r,g,b) dans le 2ème membre de (3):

(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*s*(r,g,b)*matdef/(((r,g,b)*matdef)
Soit (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*s On retrouve (4) , donc (Id) est une IDENTITE.cqfd.

• Autre démonstration de (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D:
  

Par définition:(r,g,b)=(rbar,gbar,bbar)n1=(rbar,gbar,bbar)/s
soit rbar=sr gbar =sg bbar=sb
Par définition de ybar:V=ybar=(drbar+egbar+fbbar)=(dsr+esg+fsb)=Ds
Donc (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(Ds)/D=(r,g,b)s
On retrouve la définition de (rbar,gbar,bbar)

On a donc démontré que (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D est une IDENTITE.

• Partons en sens inverse pour construire l'identité Id
  

Il s'agit de trouver une formule permettant de calculer les inconnues rbar,gbar,bbar en fonction des données connues qui sont r,g,b .Pour ce faire on utilise V la fonction de sensibilité de la vision humaine que l’on veut être une combinaison linéaire de (rbar,gbar,bbar) donc également de (r,g,b).
Donc V=drbar+egbar+fbbar combinaison linéaire.
On écrit:(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)s avec s=rbar+gbar+bbar
Puis en multipliant et divisant par D:(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(Ds)/D
Puis avec D=(dr+eg+fb)au numérateur:(rbar,bbar,gbar)=(r,g,b)*(drs+egs+fbs)/D
En remplaçant rs par rbar,sg par gbar et sb par bbar
On trouve: (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*(drbar,egbar,fbbar)/D=(r,g,b)*V/D
On peut ainsi passer des fonctions (r,g,b) qui sont négatives à tour de rôle aux fonctions (rbar,gbar,bbar) dont seule gbar est toujours positive puis aux fonctions (x,y,z) qui sont toujours positives.

• JUSTIFICATIONS
  

BROADBENT page 10:
Pour un spectre quelconque:
The luminance of the monochromatic light L(λ) is given by:
L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21)
L(λ) = Km E(λ) V(λ)=rbar*LR+gbar*LG+bbar*Lb (22)
where Km is a conversion constant equal to 683 lumen/W, E(λ) is the spectral distribution of radiant power of the light seen by the observer, and V(λ) the photopic efficacy function. Both E(λ) and V(λ) vary with wavelength.
Si on pose LR=kd LG=ke LB=kf et k=LR/d=LG/e=LB/f donc d+e+f=1 et
L(λ) = Km E(λ) V(λ)(21)=k(rbar*d+gbar*e+bbar*f)
n(λ)=Km E(λ)V(λ)/(LR*r(λ)+LG*g(λ)+LB*b(λ))(23)
L'équation (23) de BROADBENT s'écrit en multipliant numérateur et dénominateur par (r,g,b):
et en remplaçant n(λ)*(r,g,b) par (rbar,gbar,bbar) de par leur définition
(rbar,gbar,bbar)=Km E(λ)V(λ)/(LR*r(λ)+LG*g(λ)+LB*b(λ)), pour un spectre quelconque.
Si on pose (d,e,f)=(LR,LG,LB)n1 soit (d,e,f)=(LR,LG,LB)*1/L avec L=(LR+LG+LB) et d+e+f=1.
Pour un spectre équi-énergétique (qui donne le blanc équi-énergétique EE) Km E(λ)=constante,et (LR+LG+LB)=L=constante:Si on prend Km E(λ)L=1
Alors:
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)* V/(d*r+e*g+f*b)(23') cqfd

Pour un spectre quelconque,non équi-énergétique:

En particulier pour 3 raies correspondant aux 3 primaires:

L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) valable pour R,G,B

TEXTE de Daniel METZ:
voir http://modele-cie-1931.blog-couleur.com/10L-espace-CIE-RGB Comment ces coefficients de luminance sont-ils obtenus ? une fois dans le site cliquer sur: Lire la suite...

On en déduit alors que la proportion de luminance du rouge correspond à 0,17697. Puis les proportions de vert et de bleu sont obtenues par ajustements successifs depuis la fonction d’efficacité lumineuse relative V(λ) par la méthode des moindres carrés, soit : Luminance CIE-RGB = [0,17697 R] + [0,81240 G] + [0,01063 B]

Ce qu’il faut bien comprendre c’est que l’on prend ce spectre équi-énergétique Km E(λ)/k =1 pour l’ensemble du spectre de 360nm à 830nm qui donne le blanc EE et ensuite on considère la relation L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) pour les 3 primaires,prises séparément,et que l’on mélange pour égaliser le blanc EE.

• CALCULS DES COEFFICIENTS DE LA MATRICE Mt
  

Pour faire les calculs on utilise un tableur.
On calcule D=(r,g,b)*matdef avec par exemple pour commencer d=0.3 e=0.4 f=0.3
On calcule (rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D de 360nm à 830nm. On fait varier d,e et f de façon à ce que les sommes des colonnes rbar,gbar,bbar soient égales à la somme de la colonne V:

• JUSTIFICATIONS
  

BROADBENT page 11:
Each of the color matching functions is integrated over the range of visible wawelengths...... The NPL standard white consists of the sum of the separate rbar,gbar,bbar color matching functions and there are equal,leading to equal chromaticity co-ordinates for this white light.

GUILD page 166:
The areas under the three distribution curves represent the relative contributions of the primaries in matching the standard white and should be equal....and also for the equal-energy spectrum...give a luminosity summation identical with the standard visibility curve.

Sellig Zed page 4.
L'ajustement aux moindres carrés d'une combinaison de rbar,gbar,bbar (donc de r,g,b qui seuls sont connus et tirés des 17 expérimentations de WRIGHT et GUILD ) proportionnelle à l'efficacité lumineuse V (connue)et prenant en compte cette condition d'égalité des intégrales (sommations) de rbar,gbar,bbar a permis à la CIE de montrer que, avec une précision satisfaisante : kV=0.17697rbar+0.8124gbar+0.01063bbar0.On prend k=1.

On trouve facilement et rapidement les valeurs de d,e,f que l’on arrondit à d=0.17697 e=0.8124 f=0.01063

ICI le fichier File:0.(rbar,gbar,bbar) (r,g,b).pdf

Fichier:(rbar,gbar,bbar) (r,g,b).pdf

CIE1931 xyY 2° CMF - (rbar,gbar,bbar)

CIE1931 xyY 2° CMF -diagrammes (xbar,ybar,zbar)et(x,y,z)

Ensuite on pose xbar=a.rbar+b.gbar+c.bbar et zbar=g.rbar+h.gbar+i.bbar.

Pour un calcul global on construit la matrice M dont les lignes sont a,b,c et d,e,f et g,h,i et on calcule :
(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt
et (x,y,z)=(xbar,ybar,zbar)n1 n1 étant la normalisation à l'unité.

On fait varier a,b,c et g,h,i de façon à rendre toutes les valeurs de x,y,z positives ou nulles pour les tangentes au gamut(diagramme de chromaticité).Le terme médian e=0.8124 montre que la colonne d,e,f correspond au vert donc les termes diagonaux a et i sont prépondérants;d'autre part a+b+c=d+e+f=g+h+i=1: on trouve facilement et en arrondissant a=0.49 b=0.31 c=0.2 g=0 h=0.01 i=0.99

$\mathbf {Mt} ={\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0.49&0.17697&0\\0.31&0.81240&0.01\\0.20&0.01063&0.99\end{pmatrix}}.$

RELATIONS ENTRE LES CMF

Vlms=0.7 l+0.33 m+0.0075 s-V1924,V1978

Comment relier (l,m,s) à (r1,g1,b1)?

Relions d’abord (r1,g1,b1) à (xbar,ybar,zbar)

On a établi:

(r1,g1,b1)=((r,g,b)*QD0)n1
(rbar,gbar,bbar)=(r,g,b)*V/D

avec D=0.17697r+0.8124g+0.01063b

(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt

Donc:

(xbar,ybar,zbar)=(rbar,gbar,bbar)*Mt=((r,g,b)*V/D)*Mt=((r1,g1,b1)*((QD0)-1))n1*V/D*Mt

on vérifie que :

(xbar,ybar,zbar)=((r1,g1,b1)*((QD0)-1))*V/D*Mt=(r1,g1,b1)*V/D*(QD0-1)*Mt

lms=xbar,,*Ut-1

Si on cherche une combinaison de l,m,s pour redonner V1924 on trouve:

Vlms=0,635857 l +0,392542 m -0,009491 s=V1924 à 10-6 prés.

donc avec le coefficient de s négatif,ce qui n’est pas réaliste....,aussi certains auteurs prennent ce coefficient=0(voir Robert Séve page 18).

En utilisant V1978(JUDD&VOS) nous pouvons déterminer un coefficient positif:

En constatant que la somme des colonnes de V1924 et la somme des colonnes de V1978 sont égales à 21.3714 ce qui ne change rien à la détermination de d,e,f,en partant de V1924 ou de V1978,on calcule o,p,q de façon que o,p,q>0 avec V=ol+pm+qs et de façon que la somme des colonnes de Vlms=21.3714 donc donne les mêmes valeurs de d,e,f.

On trouve:

Vlms=0.7l+0.33m+0.0075s

L=330l M=286m S=55s

$\mathbf {Ut-1} ={\begin{pmatrix}0,2402194003&0,3891045663&0,0006250678\\0,8554625797&1,1617225027&-0,0024828309\\-0,0441973642&0,0851580661&0,5610942901\end{pmatrix}}$

(l,m,s)=(rbar,gbar,bbar)*Mt*Ut-1

$\mathbf {Mt*Ut-1} ={\begin{pmatrix}0,269074697&0,0149677043&-0,0001331659\\0,7690038402&0,8240125263&0,0037876621\\0,0134060787&0,0187957719&0,5555820308\end{pmatrix}}$

$D=3d={\begin{pmatrix}0.729&0&0\\0&1.23&0\\0&0&1.041\\\end{pmatrix}}$

lu=Mt*Ut-1

On calcule: lu*D

$\mathbf {lu*D} ={\begin{pmatrix}2,0031153195&-0,1523763245&0,0053386061\\-1,6528222506&1,7347632215&-0,048654184\\0,0724314643&-0,1749115009&1,9260561093\end{pmatrix}}$

(r1,g1,b1)=(l,m,s)*lu*D

TRIANGLE DE MAXWELL

Triangle de MAXWELL calculé avec (r1,g1,b1) de WRIGHT pour 460nm 520nm 640nm

CIE1931xyY-2°

REMARQUE IMPORTANTE

$\scriptstyle \ \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ interprétée comme l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction Modèle:Math, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses Modèle:Math et Modèle:Math

$COURSdeMATHEMATIQUES$

$AIRE=\int \limits _{a}^{b}{f}(x).\mathrm {d} x$

Soit:

${\begin{cases}Xs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Ys=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Zs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

Gamut du système CIE xyY

Ces 3 intégrales permettent 3 formulations:

• 1°/Si λ2-λ1=dλ ==>0
  

alors:

${\begin{cases}Xs=k.{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda )\\Ys=k.{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda )\\Zs=k.{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda )\end{cases}}.$

Alors si :$S=Xs+Ys+Zs$
et si :${\overline {s}}={\overline {x}}+{\overline {y}}+{\overline {z}}$

$x=Xs/S={\overline {x}}/{\overline {s}}$

$y=Ys/S={\overline {y}}/{\overline {s}}$

$z=Zs/S={\overline {z}}/{\overline {s}}$

$(x,y,z)$ représentent les coordonnées d'un point situé sur le spectrum locus du GAMUT (le lieu du spectre) et correspondant à :λ=λ1=λ2.

$V1924={\overline {y}}(\lambda )$

$Ys=Ya=k.V1924.I(\lambda )$

The luminance of the monochromatic light L(λ) is given by L(λ) = Km E(λ) V(λ) (21) where Km is a conversion constant equal to 683 lumen/W, E(λ) is the spectral distribution of radiant power of the light seen by the observer, and V(λ) the photopic efficacy function. Both E(λ) and V(λ) vary with wavelength.
VOIR BROADBENT page 10:
Ya, intensité lumineuse subjective indépendante de la couleur est la luminance qui peut être appelée la luminance absolue,d'où l'indice a.
Soit :

$Ya(555nm)=683.V1924(555).I(555)$

$Ya(\lambda )=683.V1924(\lambda ).I(\lambda )$

On calcule:

$V1924(\lambda )=Ya(\lambda )/683.I(\lambda )$

$V1924(555)=Ya(555)/683.I(555)$

On mesure I(λ) avec le photométre à scintillements(flicker photometer)pour que les scintillements disparaissent en partant de λ=555 nm

$V1924(\lambda )/V1924(555)=I(555)/I(\lambda )$

On prend:

$V1924(555)=1$

et:

$I(555)=K$

Alors:

$V1924(\lambda )=K/I(\lambda )$

C'est le principe du calcul de V1924(λ) qui est inversement proportionnelle à la mesure de I(λ).
Since we want to plot a spectral sensitivity function derived by heterochromatic flicker photometry the dependent variable (radiance of the chromatic field that gave minimum flicker) has to be divided into 1.0. This gives us the reciprocal of the radiance which is the standard way of representing psychophysically derived sensitivity. When this reciprocal of radiance is plotted as a function of wavelength one has a photopic spectral sensitivity function.
Frederik IVES 1900.

• 2°/Si on considère 2 limites d'intégration λ1 et λ2:
  

${\begin{cases}Xs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Ys=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\Zs=k.\int \limits _{\lambda 1}^{\lambda 2}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

alors si :$Ss=Xs+Ys+Zs$
alors:

$xi=Xs/Ss$

$yi=Ys/Ss$

$zi=Zs/Ss$

(xi,yi,zi) représentent les coordonnées d'un point intérieur au gamut situé entre les points représentant λ1 et λ2.

• 3°/Si cette intégration se fait de 360nm à 830nm .
  

alors λ1=360nm et λ2=830nm
Pour un spectre équi-énergétique:I(λ)=Constante
Alors ces intégrations de 360nm à 830nm donnent une même valeur numérique disons N.

${\begin{cases}N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {x}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {y}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \\N=k.\int \limits _{360~nm}^{830~nm}{\overline {z}}(\lambda ).I(\lambda ).\mathrm {d} \lambda \end{cases}}.$

alors: xW=yW=zW=N/3N=1/3 Les coordonnées du blanc sont (1/3,1/3,1/3)

CIE 1931-2° xyY: Y=0.17697r+0.81240g+0.01063b
Cette luminance peut être appelée la luminance (tout court).
Voir Robert Sève:Formules des pages 4,5,et 16.

Y/y=X/x=Z/z=X+Y+Z est appelée la luminance relative.Voir Robert Sève: page 5
On peut ajouter barycentrique car elle permet de calculer le mélange des lumières.

LES FONCTIONS Y , Ys et Ya NE SONT PAS LES MËMES,
CE QUI REND TOUT LE TEXTE DE LA CONTRIBUTION de WIKIPEDIA CIE XYZ COMPLETEMENT INCOMPREHENSIBLE,
SI ON REPRESENTE CES 3 FONCTIONS PAR Y.

bibliographie

1. ↑ 1928-1929:A.RE-DETERMINATION OF THE TRICHROMATIC COEFFICIENTS OF THE SPECTRAL COLOURS BY W.D.WRIGHT ,MS,received,7th February,1929 Read and discussed,14th March ,1929. pages 141-164 dans Transactions of the Optical Society, vol. 30, no 4, 1er mars 1929

2.↑ A.RE-DETERMINATION OF THE MIXTURE CURVES OF THE SPECTRUM BY W.D.WRIGHT, MS,received,31st January,1930. Read and discussed,10th April,1930. pages 201-218

3.↑ THE COLORIMETRIC PROPERTIES OF THE SPECTRUM BY J.GUILD ,NATIONAL PHYSICAL LABORATORY (NPL) received february 19,1931-read april 30,1931.pages 149-187

4.↑ CIE COLOR SPACE BY GERNOT HOFFMANN
http://www.fho-emden.de/~hoffmann/ciexyz29082000.pdf

5.↑ COULEUR VISION
http://www.handprint.com/HP/WCL/color6.html

REMARQUE

La définition du système colorimétrique CIE xyY a introduit la notion de luminance Y, intensité lumineuse subjective indépendante de la couleur.
CIE 1931-2° xyY: Y=0.17697r+0.81240g+0.01063b
Cette luminance peut être appelée la luminance (tout court)(voir Robert Sève:page 4/19).
Y/y=X/x=Z/z=X+Y+Z est appelée la luminance relative(voir Robert Sève:page 5/19).On peut ajouter barycentrique car elle permet de calculer le mélange des lumières.
Il est aussi défini:

$L(\lambda )=k.V1924(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda$

Cette luminance peut être appelée la luminance absolue.
VOIR BROADBENT page 10.
Ces deux fonctions L et Y sont différentes contrairement à ce que dit la contribution CIEXYZ qui les considère comme égales ce qui est faux,pour une lumière équi-énergétique.
Le texte de Robert Sève (et ALASJOURN) cité en référence 8 est juste.
On peut cependant lui faire un reproche sur des simplifications de langage et de symboles qui ne peuvent amener que des incompréhensions.Cette ambiguïté ne se retrouve pas dans les textes de WRIGHT ,GUILD et BROADBENT.
Cette ambiguïté demande correction.
Il s'agit de l'emploi de X,Y,Z pour 4 quantités différentes.
C=X.[X]+Y.[Y]+Z.[Z] page9/19 de la référence 8.
La bonne formulation serait:
C=a.Xp+b.Yp+c.Zp p pour primaires. Y=0.17697R+0.8124G+0.01063B page 5/19 de la référence 8.
Il est à remarquer que WRIGHT et GUILD notent alpha pour R,beta pour G et gamma pour B.
dans C=alphaR+betaG+gammaB (WRIGHT page 142-1928-29.
et Q=a.R+b.G+c.B pour GUILD pageGUILD page 157.
Dans les tableaux de WRIGHT ces coefficients n'ont pas de noms et sont notés trichromatic coefficients(page 211-1930)et dans ceux de GUILD ces noms sont compliqués genre ualambda(page 185).
BROADBENT note r pour R,g pour G et b pour B,ce qui est plus clair.
Donc en fait la bonne formulation serait:
X=0.49r+0.31g+0.2b
Y=0.17697r+0.8124g+0.1063b Y est la LUMINANCE(tout court)
Z=0r+0.01g+0.99b
Ya=683*I*V1924 est la LUMINANCE ABSOLUE.
Il y a aussi:

$Y=k.\int \limits _{380~nm}^{780~nm}{\overline {y}}(\lambda ).S(\lambda ).\mathrm {d} \lambda$

Pour une lumière équi-énergétique (S=constante), cette intégrale représente une aire donc une valeur numérique.
On a donc vu l'emploi ambigu de Y pour Ya (LUMINANCE ABSOLUE) .1ère fois.
[Y] pour la primaire 546.1nm .2ème fois.
Y pour l'intégrale .3ème fois.
et Y pour la LUMINANCE(tout court) Y=0.17697r+0.8124g+0.01063b.4ème fois.
Donc cet emploi de Y pour 4 fonctions différentes est à éviter.

Prisme

Le spectre visible obtenu par décomposition de la lumière blanche par un prisme