Utilisateur:Bercier/intersection de 2 droites

INTERSECTION DE 2 DROITES PASSANT CHACUNE PAR 2 POINTS

EN UTILISANT UN TABLEUR ET SON CALCUL MATRICIEL

POINTS 1,2,3 et 4
Points 1 et 2 POUR LA 1ERE d'équation:y=a1x+a2
Points 3 et 4 POUR LA 2EME d'équation:y=a3x+a4

coordonnées des points 1,2,3,4:

points	1	2	3	4
x	x1	x2	x3	x4
y	y1	y2	y3	y4

DETERMINATION DES 2 DROITES
sous forme matricielle
$matriceM12={\begin{pmatrix}x1&x2\\1&1\\\end{pmatrix}}$
CALCUL ALGEBRIQUE DE LA MATRICE INVERSE
D'une manière générale, pour un système sous la forme : $\left\{{\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}}\right.$, pour lequel le déterminant $ab'-a'b$ est non nul, on a $y={\dfrac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}$ et $x={\dfrac {cb'-c'b}{ab'-a'b}}$. a=x1
b=1
c=y1
a'=x2
b'=1
c'=y2
y=a1=(ac'-a'c)/(ab'-a'b)=(x1y2-x2y1)/(x1-x2)
x=a2=(cb'-c'b)/(ab'-a'b)=(y1-y2)/(x1-x2)

(y1,y2)=(a1,a2)*M12

$matriceM34={\begin{pmatrix}x3&x4\\1&1\\\end{pmatrix}}$

(y3,y4)=(a3,a4)*M34

CALCUL ALGEBRIQUE DE LA MATRICE INVERSE
D'une manière générale, pour un système sous la forme : $\left\{{\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}}\right.$, pour lequel le déterminant $ab'-a'b$ est non nul, on a $y={\dfrac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}$ et $x={\dfrac {cb'-c'b}{ab'-a'b}}$. a=x3
b=1
c=y3
a'=x4
b'=1
c'=y4
y=a3=(ac'-a'c)/(ab'-a'b)=(x3y4-x4y3)/(x3-x4)
x=a4=(cb'-c'b)/(ab'-a'b)=(y3-y4)/(x3-x4)
M12-1 et M34-1 inverses des matrices M12 et M34

(a1,a2)=(y1,y2)*M12-1
(a3,a4)=(y3,y4)*M34-1

INTERSECTION DE 2 DROITES

Points 1 et 2 POUR LA 1ERE d'équation:y=a1x+a2
Points 3 et 4 POUR LA 2EME d'équation:y=a3x+a4

$matriceM={\begin{pmatrix}1&1\\-a1&-a3\\\end{pmatrix}}$

(a2,a4)=(y,x)* M

a2=y-a1x a4=y-a3x

L'ordonnée du point d'intersection est : y=a1x+a2 y=a3x+a4

M-1 inverse de la matrice M
L'INTERSECTION DES 2 DROITES A POUR COORDONNEES y,x:
(y,x)=(a2,a4)* M-1

CALCUL ALGEBRIQUE DE LA MATRICE INVERSE
D'une manière générale, pour un système sous la forme : $\left\{{\begin{matrix}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{matrix}}\right.$, pour lequel le déterminant $ab'-a'b$ est non nul, on a $y={\dfrac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}$ et $x={\dfrac {cb'-c'b}{ab'-a'b}}$./> a2=y-a1x a4=y-a3x/>

a=a1
b=1
c=a2
a'=a3
b'=1
c'=a4
y=a1=(ac'-a'c)/(ab'-a'b)=(x1y2-x2y1)/(x1-x2)
x=a2=(cb'-c'b)/(ab'-a'b)=(y1-y2)/(x1-x2)

(y,x)=(a1,a2)*M-1

ce qui montre que le calcul direct est difficile et qu’il vaut mieux passer par le calcul matriciel que nous présentons ici,que ce soit sur tableur ou sur calculatrice programmable.

Résumé:

INTERSECTION DE 2 DROITES PASSANT CHACUNE PAR 2 POINTS EN UTILISANT UN TABLEUR ET SON CALCUL MATRICIEL
y=a1x+a2
y=a3x+a4
Dans le tableur on écrit le tableau suivant:

points	1	2	3	4
x	x1	x2	x3	x4
y	y1	y2	y3	y4

puis celui avec les valeurs de x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4

On tire de ce tableau les 2 matrices avec les valeurs numériques:

$matriceM12={\begin{pmatrix}x1&x2\\1&1\\\end{pmatrix}}$

$matriceM34={\begin{pmatrix}x3&x4\\1&1\\\end{pmatrix}}$
On calcule les matrices inverses M12-1 et M34-1
puis les produits:

(y1,y2)*M12-1=(a1,a2)
(y3,y4)*M34-1=(a3,a4)
Avec ces résultats on construit le vecteur ligne:(a2,a4)
et la matrice M:
$matriceM={\begin{pmatrix}1&1\\-a1&-a3\\\end{pmatrix}}$
On calcule M-1 l'inverse de M

L'INTERSECTION DES 2 DROITES A POUR COORDONNEES y,x:
(y,x)=(a2,a4)* M-1

Avec un tableur dans une feuille préparée avec le tableau théorique et le tableau d'un exemple, le déroulement du calcul est simple et le résultat rapide et sur.

Voir exemple dans la pièce jointe à votre droite.