Utilisateur:Cdang/épaisseur d'un tube

Énoncé

Nous considérons une structure faite de tubes assemblés (treillis, échafaudage, …). Les tubes sont tous sollicités en traction ou compression. Ils sont en acier au carbone de limite élastique R_e = 235 MPa, et l’on applique un coefficient de sécurité s = 6.

Le tube le plus sollicité subit un effort normal N = 10 000 N.

Questions

1. Pour des raisons d'encombrement, on décide de imiter le diamètre extérieur à 30 mm. Déterminer l'épaisseur minimale e du tube :
   1. En utilisant la méthode du râteau de montage.
   2. En résolvant une équation du second degré.
   3. En utilisant un développement limité du premier ordre.
   4. En utilisant un tableur.
2. Choisir le plus petit tube résistant parmi les tubes normalisés (voir tableau ci-dessous), avec un tableur, par recherche automatique.

Profils creux ronds finis à chaud (NFA 49-501)

∅ext (mm)	épaisseur (mm)
21,3	2,3
26,9	2,3
33,7	2,9
42,4	2,9
48,3	2,9
60,3	3,2
76,1	3,2
88,9	3,2
101,6	3,6
114,3	3,6
139,7	4
168,3	4,5

Réponse

1

1.1

À la limite, σ = R_pe soit

$\sigma ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}={\frac {235}{6}}=39,6\ \mathrm {MPa}$

donc

$\mathrm {S} ={\frac {\mathrm {N} }{\sigma }}={\frac {10\,000}{39,6}}=253\ \mathrm {mm} ^{2}$.

On a :

$r={\sqrt {\mathrm {R} ^{2}-{\frac {\mathrm {S} }{\pi }}}}={\sqrt {15^{2}-{\frac {253}{\pi }}}}=12,0\ \mathrm {mm}$.

e = R - r = 15-12 = 3 mm

1.2

L'aire vaut

S = π × (R² - r²) = π × (R² - (R - e)²) = π × (2 × R × e - e²)

avec S = 253 mm², soit

$e^{2}-2\times \mathrm {R} \times e+{\frac {\mathrm {S} }{\pi }}=0$

$e^{2}-30\times e+80,5=0$.

C'est une équation du second degré en e :

$\Delta =b^{2}-4ac=30^{2}-4\times 80,5=578$

le discriminant est positif, il y a donc deux solutions mathématiques :

$\left\{{\begin{matrix}e_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {30+{\sqrt {578}}}{2}}=27,0\ \mathrm {mm} \\e_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {30-{\sqrt {578}}}{2}}=2,98\ \mathrm {mm} \end{matrix}}\right.$

la première solution n’est pas possible car l'épaisseur ne peut être supérieure au rayon extérieur. La solution est donc :

e = 2,98 mmm.

1.3

L'aire vaut

S = π × D_m × e.

Si l'épaisseur est faible devant le diamètre extérieur (e ≪ D_ext), alors D_m ≃ D_ext soit

S ≃ π × D_ext × e

donc

$e\simeq {\frac {\mathrm {S} }{\pi \times \mathrm {D_{ext}} }}={\frac {253}{\pi \times 30}}=2,68\ \mathrm {mm}$.

Notons que l’expression de l'aire utilisée est le développement limité du premier ordre de S : e² ≪ e

S = π × (2 × R × e - e²) ≃ π × 2 × R × e = π × D_ext × e.

1.4

L'intérêt d'un tableur est que l’on peut utiliser les formules directes sans avoir à les inverser. On s'attache à faire un minimum de mise en forme : l'impression de la page peut constituer la note de calcul.

On commence par entrer les données de l'énoncé, puis à calculer les valeurs dérivées (ici, R_pe) : dans la case A4, on tape la formule

=A2/B2

Feuille de calcul

col/ligne	A	B	C	D
1	Re (MPa)	s	F (N)	diam ext (mm)
2	235	6	10000	30
3	Rpe (MPa)
4	39,17
…

Ensuite, on prend l'épaisseur e maximale, 15 mm, pour vérifier d'un rond plein tiendrait : on calcule l'aire de la section droite S (mm²), la contrainte normale σ (MPa) et l’on affiche « vrai » si la condition de résistance est vérifiée, « faux sinon ». On entre les formules suivantes :

case B7

=PI()*PI()*(D$2-A7)*A7

où

• PI() désigne le nombre π ;
• D$2 désigne le contenu de la case D2, c'est-à-dire la diamètre extérieur D_ext ; le signe dollar indiquant que la référence ne doit pas s'incrémenter lorsque l’on étire la case (puisque c’est une constante) ;
• A7 désigne le contenu de la case A7, c'est-à-dire l'épaisseur e.

La formule est donc

S = π × (D_ext - e) × e = π × D_m ×e

case C7

=C$2/B7

soit

σ = F/S

(F étant une constante, sa référence est dollarisée).

case D7

=SI(C7<=A$4;VRAI;FAUX)

avec :

• SI(…) : fonction affichant une valuer dépendant d'un test ;
• C7<=A$4 : test « valeur de C7 inférieure ou égale à A4 » soit σ ≤ R_pe, R_pe/A4 étant une constante ;
• VRAI;FAUX : valeurs à afficher si le test est repectivement vrai ou faux.

Feuille de calcul

col/ligne	A	B	C	D
…
6	e (mm)	S (mm^2)	sigma (MPa)	résiste
7	15	706,86	14,15	VRAI
…

Ensuite, on choisit la valeur d'épaisseur suivante :

• tant que le test est vrai, on divise la valeur par 2, avec une formule du type (pour la case A11)

=MOYENNE(A9;A10)

ou bien

=(A9+A10)/2

et pour la case A12

=MOYENNE(A9;A11)

• si le test devient faux, c’est que la valeur minimale est comprise entre la valeur précédente et l'avant dernière ; on prend donc la moyenne de ces deux valeurs, ave cune formule du type (pour la case ;
• on progrese ainsi en prenant à chaque fois la moyenne entre la plus grande valeur renvoyant FAUX et la plus petite valeur renvoyant VRAI.

Une fois la valeur choisie, on étire les cases B à D vers le bas pour mettre à jour les valeurs.

Feuille de calcul

col/ligne	A	B	C	D
…
6	e	S (mm^2)	sigma (MPa)	résiste
7	15	706,86	14,15	VRAI
8	7,5	530,14	18,86	VRAI
9	3,75	309,25	32,34	VRAI
10	1,875	165,67	60,36	FAUX
11	2,8125	240,22	41,63	FAUX
12	3,28125	275,43	36,31	VRAI
13	3,046875	258,00	38,76	VRAI
14	2,9296875	249,15	40,14	FAUX
15	2,98828125	253,59	39,43	FAUX
16	3,017578125	255,79	39,09	VRAI

Ainsi, on sait au bout de 6 étapes que

2,8 < e_mini < 3,3

et au bout de 10 étapes, que: 2,8 < e_mini < 3,3

2,98 < e_mini < 3,02

À l'étape 6, on a divisé l'intervalle de recherche par 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32, soit une précision de 15/32 = 0,47 mm. À l'étape 10, on a divisé l'intervalle par 2⁹ = 512, soit une précision de 0,03 mm.

2

La première étape consiste à entrer les profilés normalisés dans la feuille de calcul (cela peut se faire par copier-coller du tableau ci-dessus), puis à calculer l'aire de la section droite de tous les profilés.

Pour cela, on tape la formule suivante dans la case C3 :

=PI()*(A3-B3)*B3

et l’on étire la case.

Puis, on entre les autres données du problème, et l’on calcule la résistance pratique à l'extension. Dans la case A18, on entre la formule

=A17/B17

Feuille de calcul

col/ligne	A	B	C
1	Tubes
2	diam ext (mm)	ép (mm)	S (mm^2)
3	21,3	2,3	137,29
4	26,9	2,3	177,75
5	33,7	2,9	280,61
6	42,4	2,9	359,87
7	48,3	2,9	413,62
8	60,3	3,2	574,3
9	76,1	3,2	732,87
10	88,9	3,2	861,55
11	101,6	3,6	1108,35
12	114,3	3,6	1251,99
13	139,7	4	1705,26
14	168,3	4,5	2315,67
15
16	Re (MPa)	s	F (N)
17	235	s	10000
18	Rpe (MPa)
19	39,17