Utilisateur:Cdang/Nombre complexe

Projet de chapitre 1 pour la leçon Nombre complexe, voir Discussion:Nombre complexe#Difficulté conceptuelle.

Projet 1 : avec une équation générique

Une inconnue particulière

Considérons l'équation

x² + 1 = 0.

Nous savons qu'elle n'a pas de solution. Cela ne nous empêche pas de l'écrire. Le x « n'existe pas », mais cela ne nous empêche par de l'élever au carré et de lui ajouter 1. De manière générale, lorsque l’on manipule une inconnue, on manipule un objet dont on ne connaît rien, voire qui peut ne pas exister…

Cette inconnue particulière, nous allons l'appeler i, comme « imaginaire ». Nous écrirons donc

i ² + 1 = 0,

soit

i ² = -1.

Cette inconnue va nous servir à résoudre les équations du troisième degré.

Équations du 3^e degré

La résolution de ces équations est hors du cadre de ce cours. Nous prenons cet exemple pour montrer l'utilité de ce i, vous n'avez pas à savoir traiter ce sujet tout seul. Nous allons l'aborder sous la forme d'un exercice guidé.

Nous allons considérer les équations de la forme

x³ + px + q = 0.

En fait, toutes les équations du 3^e degré peuvent se ramener à cette forme. Ce problème a été étudié par Scipione Del Ferro au XV^e siècle avec p et q entiers naturels, qui ne la publia pas mais la transmis à Nicolo Fontana dit « Tartaglia ». Celle-ci atterri dans les mains de Gerolamo Cardano (Jérôme Cardan) qui la publia en 1546.

Ramener l'équation générale à la forme réduite

De manière générale, une équation du 3^e degré s'écrit

aX³ + bX² + cX + d = 0.

En posant

$\mathrm {X} =x-{\frac {b}{3a}}$,

montrer que l’on arrive à la forme réduite

x³ + px + q = 0. (1)

Solution

Il suffit de remplacer X dans l'équation et de développer :

${\begin{aligned}&a\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0\\&a\left(x^{3}-3x^{2}{\frac {b}{3a}}+3x\left({\frac {b}{3a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{3a}}\right)^{3}\right)+b\left(x^{2}-2x{\frac {b}{3a}}+\left({\frac {b}{3a}}\right)^{2}\right)+c\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0\\\end{aligned}}$

on regroupe ensuite les termes et on simplifie

${\begin{aligned}&ax^{3}+\left(-3a{\frac {b}{3a}}+b\right)x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{3a}}-2{\frac {b^{2}}{3a}}+c\right)x-a{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+b{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}-c{\frac {b}{3a}}+d=0\\&ax^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)x+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}+d=0\\&x^{3}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}\right)x+{\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}=0\end{aligned}}$

on obtient

$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}$ ;

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}$.

 

Cas général

Nous supposons que p et q sont tous deux non nuls. On définit les variables u et v par les équations

x = u + v ;

3uv = -p.

Que devient l'équation (1) ? Que vaut u³v³ ?

Solution

L'équation (1) devient

(u + v )³ + p(u + v ) + q = 0

on développe :

u³ + 3u²v + 3 uv² + v³ + p(u + v ) + q = 0

on réorganise afin de faire apparaître uv :

u³ + 3uuv + 3 uvv + v³ + p(u + v ) + q = 0

en remplaçant 3uv par -p, on obtient

u³ - pu - pv + v³ + p(u + v ) + q = 0

u³ + v³ + q = 0,

soit

u³ + v³ = -q.

Par ailleurs,

$uv=-{\frac {p}{3}}$

soit

$u^{3}\cdot v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}$.

 

Posons U = u³ et V = v³. Le problème se ramène donc à déterminer U et V en connaissant leur somme et leur produit :

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} +\mathrm {V} &=-q\\\mathrm {U} \cdot \mathrm {V} &=-{\frac {p^{3}}{27}}\end{aligned}}\right.$

Montrer que cela se ramène à une équation du second degré.

Solution

On peut par exemple poser

$\mathrm {V} =-\mathrm {U} -q$

puis substituer ceci dans la seconde équation

${\begin{aligned}&\mathrm {U} \cdot \left(-\mathrm {U} -q\right)=-{\frac {p^{3}}{27}}\\&-\mathrm {U} ^{2}-q\mathrm {U} =-{\frac {p^{3}}{27}}\\&\mathrm {U} ^{2}+q\mathrm {U} -{\frac {p^{3}}{27}}=0\end{aligned}}$.

 

Discriminant positif

Le discriminant de cette équation du second degré est :

$\Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$.

Résoudre l'équation si Δ est strictement positif.

Solution

On a

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} _{1}={\frac {-q+{\sqrt {q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}}}{2}}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\\&\mathrm {U} _{2}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\end{aligned}}\right.$

et donc

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {V} _{1}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\\&\mathrm {V} _{2}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}\end{aligned}}\right.$

On remarque qu'U₁ = V₂ et qu'U₂ = V₁ ; les deux solutions donnent donc le même résultat. On a donc une solution unique de l'équation (1) :

$x=u+v={\sqrt[{3}]{\mathrm {U} _{1}}}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {V} _{1}}}$

soit

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

C'est la « formule de Cardan ».

 

Discriminant négatif

L'équation du second degré n'a pas de solution si le discriminant est négatif. Toutefois, la résolution de cette équation n’est pas une fin en soi, c’est juste une étape intermédiaire pour arriver à la solution. Posons donc :

$\Delta =-z^{2}=-1\cdot z^{2}=i^{2}\cdot z^{2}$.

On a alors

${\sqrt {\Delta }}=i\cdot z$.

Nous voyons réapparaître ce nombre i imaginaire. La solution trouvée ci-dessus devient alors

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} =-{\frac {q}{2}}+{\frac {iz}{2}}\\&\mathrm {V} =-{\frac {q}{2}}-{\frac {iz}{2}}\\\end{aligned}}\right.$

et

$x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\frac {iz}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\frac {iz}{2}}}}$.

Supposons que u, la racine cubique de U, ait la même forme que u :

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} =-{\frac {q}{2}}+{\frac {z}{2}}i\\&u=a+bi\\\end{aligned}}\right.$

on a alors

$\mathrm {U} =u^{3}=a^{3}-3ab^{2}+(3a^{2}b-b^{3})i$.

Par ailleurs, calculons le cube du « conjugué » ${\bar {u}}=a-bi$:

${\bar {u}}^{3}=a^{3}-3ab^{2}-(3a^{2}b-b^{3})i={\bar {\mathrm {U} }}$.

On voit donc que le résultat est le conjugué de U, c'est-à-dire… V. On a donc

v ³ = V et u ³ = V

soit

v ³ = u ³.

Une des solutions possible à cette équation est

v = a - bi

Lorsque l’on fait u + v, la partie imaginaire s'élimine :

x = u + v = a + bi + a - bi = 2a.

On a donc au final un résultat réel ! Le premier exemple traité fut celui de l'équation

x³ = 15x + 4 soit x³ - 15x - 4 = 0.

On trouve

U = 2 + 11i.

Montrer que 2 + i est une racine cubique de U. En déduire une solution de l'équation.

Solution

On a :

(2 + i )³ = 2³ + 3⋅2²⋅i + 3⋅2⋅i² + i³ = 8 + 12i - 6 + i²⋅i = 2 + 11 i.

On a donc

$\left\{{\begin{aligned}&u=2+i\\&v=2-i\\\end{aligned}}\right.$

soit

x = 4.

 

Note

L'équation possède deux autres solutions réelles.

Bilan

Nous avons vu au cours de cette étude que l'inconnue imaginaire i pouvait être utilisée comme intermédiaire de calcul : elle apparaît provisoirement dans la méthode, mais se simplifie et disparaît dans le résultat final.

Le but de cette leçon est d'étudier cette inconnue imaginaire : puisque nous avons un nouvel outil, il nous faut mieux le connaître, pour savoir comment l’utiliser, et lui trouver d'autres usages. Nous verrons à la fin qu’il se révèle utile dans d'autres domaines de la physique, et notamment dans l'étude des ondes et du courant sinusoïdal.

Dorénavant, lorsqu'une équation du second degré a un discriminant négatif, il ne faudra plus dire « l'équation n'admet pas de solution » mais dire « l'équation n'admet pas de solution réelle »…

Projet 2 : avec une équation particulière

Une inconnue particulière

Idem que précédemment.

Équations du 3^e degré

La résolution de ces équations est hors du cadre de ce cours. Nous prenons cet exemple pour montrer l'utilité de ce i, vous n'avez pas à savoir traiter ce sujet tout seul. Nous allons l'aborder sous la forme d'un exercice guidé.

Nous allons considérer l'équation

x³ = 15x + 4

soit

x³ - 15x - 4 = 0. (1)

Ce problème a été étudié par Scipione Del Ferro au XV^e siècle, qui n'en publia pas la solution mais la transmis à Nicolo Fontana dit « Tartaglia ». Celle-ci atterri dans les mains de Gerolamo Cardano (Jérôme Cardan) qui la publia en 1546.

Se ramener à une équation du second degré

La démarche consiste à se ramener à une équation du 2^nd degré.

Pour cela, on définit les variables u et v par les équations

x = u + v ;

3uv = 15.

Que devient l'équation (1) ? Que vaut u³v³ ?

Solution

L'équation (1) devient

(u + v )³ -15(u + v ) - 4 = 0

on développe :

u³ + 3u²v + 3 uv² + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

on réorganise afin de faire apparaître uv :

u³ + 3uuv + 3 uvv + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

en remplaçant 3uv par 15, on obtient

u³ + 15u + 15v + v³ -15(u + v ) - 4 = 0

u³ + v³ - 4 = 0,

soit

u³ + v³ = 4.

Par ailleurs,

$uv={\frac {15}{3}}=5$

soit

$u^{3}\cdot v^{3}=5^{3}=125$.

 

Posons U = u³ et V = v³. Le problème se ramène donc à déterminer U et V en connaissant leur somme et leur produit :

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {U} +\mathrm {V} &=4\\\mathrm {U} \cdot \mathrm {V} &=125\end{aligned}}\right.$

Montrer que cela se ramène à une équation du second degré.

Solution

On peut par exemple poser

$\mathrm {V} =-\mathrm {U} +4$

puis substituer ceci dans la seconde équation

${\begin{aligned}&\mathrm {U} \cdot \left(-\mathrm {U} +4\right)=125\\&-\mathrm {U} ^{2}+4\mathrm {U} =125\\&\mathrm {U} ^{2}-4\mathrm {U} +125=0\end{aligned}}$.

 

Résolution de l'équation du second degré

Le discriminant de cette équation du 2^nd degré est :

$\Delta =4^{2}-4\times 125=-484$.

L'équation du second degré n'a pas de solution puisque le discriminant est négatif. Toutefois, la résolution de cette équation n’est pas une fin en soi, c’est juste une étape intermédiaire pour arriver à la solution. Posons donc :

$\Delta =-z^{2}=-1\cdot z^{2}=i^{2}\cdot z^{2}$.

On a alors

${\sqrt {\Delta }}=i\cdot z$

avec

$z={\sqrt {484}}=22$

soit

${\sqrt {\Delta }}=22i{\text{. (2)}}$

Nous voyons réapparaître ce nombre i imaginaire. En considérant la forme (2) pour ${\sqrt {\Delta }}$, donner la solution de l'équation du 2^nd degré puis de l'équation du 3^e degré (1) ; les solutions contiendront le terme i.

Solution

On a

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} _{1}={\frac {4+{\sqrt {\Delta }}}{2}}={\frac {4+22i}{2}}=2+11i\\&\mathrm {U} _{2}=2-11i\end{aligned}}\right.$

et donc

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {V} _{1}=2-11i\\&\mathrm {V} _{2}=2+11i\end{aligned}}\right.$

On remarque qu'U₁ = V₂ et qu'U₂ = V₁ ; les deux solutions donnent donc le même résultat. On a donc une solution unique de l'équation (1) :

$x=u+v={\sqrt[{3}]{\mathrm {U} _{1}}}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {V} _{1}}}={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}$.

 

Solution réelle de l'équation du troisième degré

Supposons que u, la racine cubique de U, ait la même forme qu'U :

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {U} =2+11i\\&u=a+bi\\\end{aligned}}\right.$

a et b étant des nombres réels. On a alors

$\mathrm {U} =u^{3}=a^{3}+3ab^{2}i^{2}+3a^{2}bi+b^{3}i^{3}$ ;

on remarque que i ³ = i ² × i = -i, soit

$\mathrm {U} =a^{3}-3ab^{2}+(3a^{2}b-b^{3})i$.

Par ailleurs, calculons le cube du « conjugué » ${\bar {u}}=a-bi$:

${\bar {u}}^{3}=a^{3}-3ab^{2}-(3a^{2}b-b^{3})i={\bar {\mathrm {U} }}$.

On voit donc que le résultat est le conjugué de U, c'est-à-dire… V. On a donc

v ³ = V et u ³ = V

soit

v ³ = u ³.

Une des solutions possible à cette équation est

v = u = a - bi

Lorsque l’on fait u + v, la partie imaginaire s'élimine :

x = u + v = a + bi + a - bi = 2a.

On a donc au final un résultat réel !

Montrer que 2 + i est une racine cubique de U. En déduire une solution de l'équation (1).

Solution

On a :

(2 + i )³ = 2³ + 3⋅2²⋅i + 3⋅2⋅i² + i³ = 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11 i.

On a donc

$\left\{{\begin{aligned}&u=2+i\\&v=2-i\\\end{aligned}}\right.$

soit

x = 4.

 

Note

L'équation possède deux autres solutions réelles.

Bilan

Idem que précédemment