Utilisateur:Crocblanc77/CoursPhysique/MomentCinétique

Moment d'une force

Une force est caractérisée par :

• Le vecteur force :
  • sa direction
  • son sens
  • sa norme
• Son point d'application M

Moment par rapport à un point

Définition

Le moment de ${\overrightarrow {F}}$ caractérise l'aptitude de cette force à faire tourner le point M autour d'un point où d'un axe.

Il est donc défini relativement à un point O, centre de cette rotation.

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {F}}$

Ceci est le moment de ${\overrightarrow {F}}$ en M, par rapport à O.

Conséquences directes

• Si la direction de F est selon ${\overrightarrow {OM}}$, alors :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si M=O, alors de même :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Soit $d$ la distance de O à M et $\theta$ l'angle $({\overrightarrow {OM}};{\overrightarrow {F}})$

Dans ce cas: $||{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{O}^{\vec {F}}}}(M)||=d\times ||{\overrightarrow {F}}||\times \sin {\theta }$

Ce moment est maximal quand ${\overrightarrow {F}}\bot {\overrightarrow {OM}}$

Moment par rapport à un axe

Définition

Soit $\Delta$ un axe dirigé par un vecteur unitaire ${\overrightarrow {\Delta }}$.

Par définition, le moment de ${\overrightarrow {F}}$ en M par rapport à $\Delta$ vaut :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {\Delta }}.({\overrightarrow {HM}}\wedge {\overrightarrow {F}})$

où H est le projeté de M sur $\Delta$

Conséquences directes

• Si ${\overrightarrow {F}}$ et ${\overrightarrow {\Delta }}$ sont colinéaires :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si M est sur $\Delta$ :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

• Si la direction de ${\overrightarrow {F}}$ coupe l'axe $\Delta$ :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=0$

En coordonnées cylindriques

En effectuant l'étude en coordonnées cylindriques, le repère étant défini par $({\overrightarrow {e_{\rho }}},{\overrightarrow {e_{\phi }}},{\overrightarrow {e_{z}}})$, on a:

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {e_{z}}}.({\overrightarrow {HM}}\bot {\overrightarrow {F}})={\overrightarrow {e_{z}}}.(\rho {\overrightarrow {e_{\rho }}}\wedge (F_{\rho }{\overrightarrow {e_{\rho }}}+F_{\phi }{\overrightarrow {e_{\phi }}}+F_{z}{\overrightarrow {e_{z}}}))$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)={\overrightarrow {e_{z}}}.(\rho F_{\phi }{\overrightarrow {e_{z}}}-\rho F_{z}{\overrightarrow {e_{\phi }}})$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)=\rho F_{\phi }$

Le moment d'une force ${\overrightarrow {F}}$ par rapport à un axe $\Delta$ appliquée en M a pour valeur :

$|{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\Delta }^{\vec {F}}}}(M)|=d\times F_{\bot }$

avec $d=d(M,\Delta )$ et $F_{\bot }$ la composante orthogonale à l'axe et à ${\overrightarrow {HM}}$ (soit selon ${\overrightarrow {e_{\phi }}}$

Remarque : Le moment cinétique sera positif si la force à tendance à faire tourner M dans le sens trigonométrique autour de ${\overrightarrow {\Delta }}$.

Moment cinétique

Le moment cinétique est une qualité qui décrit la rotation d'un point M autour d'un point O.

On définit le moment cinétique de M par rapport à O comme ceci :

${\mathcal {L}}_{O}(M)={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {p}}$

où ${\overrightarrow {p}}$ est la quantité de mouvement.

Axe et coordonnées cylindrique

Comme pour le moment d'une force on peut définir le moment cinétique par rapport à un axe de la façon suivante :

${\mathcal {L}}_{\Delta }(M)={\overrightarrow {\Delta }}.{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{O}}}(M)$

Et on peut retrouver en coordonnées cylindriques :

${\mathcal {L}}_{\Delta }(M)=m\times {\rho }^{2}\times {\dot {\phi }}$

Théorème du moment cinétique

Soit un point M de masse m soumis à des forces extérieures : $\sum {\overrightarrow {F}}_{ext}(M)$

On a alors :

${\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {p}}$

${\frac {d{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}\wedge {\overrightarrow {p}}+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\frac {\overrightarrow {p}}{dt}}$

${\frac {d{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}}{dt}}={\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {p}}+{\overrightarrow {OM}}\wedge {\frac {\overrightarrow {p}}{dt}}$

Et on tire du Principe Fondamental de la dynamique :

${\frac {d{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}}{dt}}={\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {p}}+{\overrightarrow {OM}}\wedge \sum {\overrightarrow {F}}_{ext}$

${\overrightarrow {v}}$ et ${\overrightarrow {p}}$ étant colinéaires, on arrive à :

${\frac {d{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}}{dt}}={\overrightarrow {OM}}\wedge \sum {\overrightarrow {F}}_{ext}$

Vient enfin le théorème du moment cinétique :

Début d’un théorème

Théorème

${\frac {d{\overrightarrow {{\mathcal {L}}_{o}}}}{dt}}=\sum {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}^{{\vec {F}}_{ext}}$

Fin du théorème