Utilisateur:Crochet.david/Bac à sable/document 5

Source: Fichier:DM8.pdf et Fichier:DM8corr.pdf

Exercice 1

1) On dispose quatre charges ponctuelles aux sommets A , B , C , D , d’un carré de côté a.

1.a) En utilisant les plans de symétrie ou anti-symétrie éventuels déterminer la direction du champ électrique au centre O du carré et le représenter, lorsque les charges $q_{A}$ , $q_{B}$ , $q_{C}$ et $q_{D}$ sont respectivement (avec q > 0 ) :

i) q, q, q, q ;

ii) q, − q, q, q ;

iii) q, − q, q, − q ;

iv) q, q, − q, − q .

Solution

Sur la figure ci-dessous les plans dont la trace est représentée en trait plein sont des plans de symétrie passant par O ( E(O) leur appartient) et les plans dont la trace est en pointillé des plans d’antisymétrie passant par O ( E(O) leur est orthogonal).

 

1.b) Exprimer dans chaque cas la norme du champ électrique en O.

Solution

On utilise le théorème de superposition : le champ électrique est la somme des 4 champs créés par les 4 charges. ${\overrightarrow {E(0)}}=\underbrace {{\overrightarrow {E_{A}(0)}}+{\overrightarrow {E_{C}(0)}}} _{champs\ opposes}+\underbrace {{\overrightarrow {E_{B}(0)}}+{\overrightarrow {E_{D}(0)}}} _{champs\ egaux}=2{\overrightarrow {E_{B}(0)}}=2{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}OB^{2}}}{\overrightarrow {u_{B0}}}$

 

2) Les figures ci-dessous représentent les lignes de champ (tracées à l’ordinateur) de systèmes de deux charges électriques ponctuelles placées en A et B , C et D (ne pas tenir compte des droites verticales).

2.a) Préciser, en justifiant clairement votre réponse, le signe des charges $q_{A}$ , $q_{B}$ , $q_{C}$ et $q_{D}$.

Donner la nature (attractive ou répulsive) de la force entre les deux charges.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

2.b) Que pouvez-vous dire du champ électrique aux points M et N ? (Justifiez votre réponse).

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

2.c) Déterminer le rapport ${\frac {q_{A}}{q_{B}}}$B sachant qu’il est entier.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

3) On considère une distribution de charges statiques quelconques. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses. On justifiera la réponse soit en démontrant le résultat, soit en donnant un contre-exemple.

3.a) Le long d’une ligne de champ, le potentiel électrique varie de façon monotone.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

3.b) Le long d’une ligne de champ la norme du champ électrique est constante.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

3.c) En tout point d’une surface équipotentielle la norme du champ électrique a la même valeur.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

3.d) En tout point d’une surface équipotentielle le champ électrique est orthogonal à la surface.

4)

4.a) On se place en coordonnées sphériques de centre O : on pose, pour tout point M , r = OM et ${\overrightarrow {u_{r}}}={\frac {\overrightarrow {OM}}{r}}$. Il existe dans l’espace une distribution de charge à symétrie sphérique donnée par la densité r volumique ρ(r) .Soit $Q_{int}(r)$ la charge contenue dans la sphère de centre O et rayon r.

i) Exprimer $Q_{int}(r)$ sous la forme d’une intégrale simple faisant intervenir ρ(r).

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

ii) Exprimer le champ électrostatique en M en fonction de $Q_{int}(r)$ et de r.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

iii) On donne $div\left(f\left(r\right){\overrightarrow {u_{r}}}\right)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\left(r^{2}f(r)\right)}{dr}}$.Le résultat précédent vérifie-t-il l’équation de Maxwellr-Gauss ?

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

4.b) On considère trois sphères de même rayon R et portant la même charge électrique totale Q > 0 , mais avec des distributions différentes :

• sphère 1 : densité volumique de charge constante dans tout le volume,
• sphère 2 : densité volumique de charge décroissant de manière monotone du centre vers la surface de la sphère,
• sphère 3 : charge portée uniquement par la surface de la sphère avec une densité superficielle constante.

On note $E_{i}(r)$ et $V_{i}(r)$ la norme du champ électrique et le potentiel que crée la sphère i à distance r de son centre lorsqu’elle est seule dans l’espace. Le potentiel électrique est pris nul à l’infini. Comparez :

i) $E_{1}(2R)$, $E_{2}(2R)$ et $E_{3}(2R)$,

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

ii) $E_{1}({\frac {R}{2}})$, $E_{2}({\frac {R}{2}})$ et $E_{3}({\frac {R}{2}})$,

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

iii) $V_{1}(0)$ , $V_{2}(0)$ et $V_{3}(0)$,

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

iv) $V_{1}(R)$ , $V_{2}(R)$ et $V_{3}(R)$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 2

(extrait CCP 2006, option MP)

Exercice 3

(extrait CCP 1998, option MP) 1. Conducteur en régime stationnaire. Charge surfacique. 1 .a) A l'intérieur d'un conducteur, au voisinage de sa surface, le champ électrique en régime stationnaire E satisfait à l'équation différentielle : ∆ E − 2 = 0 où λD est une longueur caractéristique du matériau,

λD

appelée longueur de Debye, qui est de l’ordre de quelques nanomètres pour un conducteur usuel. La surface du conducteur est supposée plane et l'axe Ox est choisi selon sa normale (Figure 1). Trouver la répartition spatiale du champ électrique, puis celle de la charge volumique ρ , lorsque le champ extérieur (dans le vide, sans charge) au voisinage de cette surface vaut E0 ex , ex étant le vecteur unitaire porté par l'axe Ox. On admettra que, loin de cette surface, le champ à l'intérieur tend vers sa valeur d'équilibre électrostatique dans un conducteur (en électrostatique le champ électrique est nul dans le volume d’un conducteur, ce résultat sera démontré en cours). 1.b) Déterminer la densité volumique de charge ρ ( x) . Exprimer ρ 0 = ρ (0) en fonction de E0 et λD .

1.c) Pour un échantillon de taille macroscopique, il est alors commode d’introduire la charge surfacique σ du conducteur. Exprimer σ en fonction de ρ 0 et de λD , puis en fonction de E0 et de ε 0 .

2. Description électrique d'un matériau dans un champ appliqué Un échantillon sphérique de rayon R, d'un matériau homogène, plongé dans le vide, est soumis à l'action d'un champ électrique uniforme Ea = Ea ez (Figure 2a). Sous l’action de ce champ, il apparaît des charges à la surface de la sphère donc la répartition est décrite par la densité σ ( M ) = σ 0 cos θ , où θ désigne l'angle (ez , OM ) .

2.a) Calculer le champ électrique E m crée par une telle distribution de charge, au centre O de la sphère ; on utilisera des propriétés de symétrie pour en prévoir la direction. Dans la suite, on admet que ce champ est uniforme à l'intérieur de cette sphère. Trouver sa valeur en fonction de σ 0 et de la permittivité du vide

ε 0 . En déduire l’expression du champ électrique résultant E à l'intérieur du matériau (ce champ est créé par Ea et les charges surfaciques qui sont apparues sur la sphère). 2.b) On assimile la distribution de charge précédente à un ensemble de dipôles électrostatiques, en associant deux à deux les éléments de surface dS et dS ' symétriques par rapport au plan équatorial z = 0 (Figure 2b). Calculer le moment dipolaire dp d'un tel doublet, puis le moment dipolaire électrique total les charges qui créent

p de la distribution. En déduire le moment dipolaire volumique P . exprimer sa valeur en fonction de

σ 0 . Quelle relation lie alors E , Ea et P ? 2.c) Le matériau est conducteur, Trouver la relation à l'équilibre entre P et le champ appliqué Ea . La nature physique du conducteur intervient-elle ? Commenter.

Exercice 4

Chimie (extrait CCP MP 2008)