Considérez le graphe du diapo 25 de l'ensemble 3 :
Parmi les lettres [a, b, c, d, e, f, g, h], prenez la première et la dernière qu'apparaissent dans votre nom complet. On va las appeler L1 et L2. Enlevez l'un des liens sortants du nœud L1. Rajoutez un lien depuis un nœud autre que L1 vers le nœud L2. L1=d et L2=a )
J'enlève l'un des liens sortant du noeud L1 (cf graphique, j'ai enlevé le lien sortant de d à f)
Je rajoute un lien depuis un nœud autre que L1 vers le nœud L2: Ici j'ai rajouté un lien sortant de b vers a.
I. Identifiez les composantes fortement connexes.
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3 composantes fortement connexes:
{a,b,c,d}
{g} et {h}
{a,b,e}
Graphique L1 et L2
II. Construisez la matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle, comme proposé dans les diapos.
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Matrices pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle :
A
=
(
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
)
M
=
(
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
)
M
T
=
(
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}M={\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}M^{T}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}}
A = matrice d’adjacence du graphe et M = matrice représentant le système linéaire
Je le multiplie par P la transposée de M.
M
T
∗
P
=
(
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
)
∗
(
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
)
=
(
1
4
1
8
3
8
1
8
1
8
0
1
4
1
8
)
{\displaystyle M^{T}*P={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {3}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\0\\{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{8}}\end{pmatrix}}}
S = 0,9 et N le nombre de noeuds = 8
Je multiplie la matière de chaque nœud par , puis j'y ajoute le partage égal entre les nœuds de de la matière :
(
9
40
9
80
27
80
9
80
9
80
0
9
40
9
80
)
+
(
1
80
1
80
1
80
1
80
1
80
1
80
1
80
1
80
)
=
(
19
80
10
80
18
80
1
80
10
80
1
80
10
80
1
80
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {9}{40}}\\{\frac {9}{80}}\\{\frac {27}{80}}\\{\frac {9}{80}}\\{\frac {9}{80}}\\0\\{\frac {9}{40}}\\{\frac {9}{80}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {1}{80}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {19}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {18}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\end{pmatrix}}}
On additionne les lignes de la dernières colonnes et on trouve bien 1. Donc on peut continuer sur la 2 ème itération.
M
T
∗
P
1
=
(
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
)
∗
(
19
80
10
80
18
80
1
80
10
80
1
80
10
80
1
80
)
=
(
38
80
10
80
54
80
1
80
10
80
1
80
20
80
1
80
)
{\displaystyle M^{T}*P_{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {19}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {18}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {38}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {54}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {20}{80}}\\{\frac {1}{80}}\end{pmatrix}}}
P_2 =
(
38
80
10
80
54
80
1
80
10
80
1
80
20
80
1
80
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {38}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {54}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {10}{80}}\\{\frac {1}{80}}\\{\frac {20}{80}}\\{\frac {1}{80}}\end{pmatrix}}}
∗
9
10
+
{\displaystyle *{\frac {9}{10}}+}
(
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\\end{pmatrix}}}
1
10
{\displaystyle {\frac {1}{10}}}
(
48
80
20
80
64
80
11
80
20
80
11
80
30
80
11
80
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {48}{80}}\\{\frac {20}{80}}\\{\frac {64}{80}}\\{\frac {11}{80}}\\{\frac {20}{80}}\\{\frac {11}{80}}\\{\frac {30}{80}}\\{\frac {11}{80}}\end{pmatrix}}}
