Utilisateur:Esprit Fugace/Caractère non-galiléen du référentiel terrestre et ses conséquences

Bonjour, Esprit Fugace, Ici, tout à fait par hasard : simplement, je listais tous les articles sur ce sujet (caractère non-galiléen) et je suis tombée sur vous ( et donc d'anciens souvenirs de 2005-2007, du temps où je préparai encore l'agreg ); donc Kropotkine proposait de réfléchir à chute libre , et je disais que forcément : déviation vers l'Est : et plouf, je tombe sur le fait que vous prépariez l'agreg : dommage, j'aurais pu vous aider ( en doc, évidemment pas en entre chose ). J'espère que vous avez réussi. En tout cas, ravie de vous avoir retrouvée ainsi : si vous voulez de la doc, n'hésitez pas : ma "lesson" était plus "étoffée", mais c’est un peu normal, car j’en ai eu le temps. Wikialement,sylvie. Vous pouvez blanchir immédiatement ce qui précède. --Guerinsylvie 6 août 2010 à 18:22 (UTC)

Référentiels

Définition et intérêt du référentiel galiléen

Définition d'un référentiel

Un référentiel est un repère lié à un observateur muni d'une horloge

Il est important de comprendre l'importance des deux parties de cette définition : définir un repère (un point origine, trois axes non-colinéaires) ne suffit pas, il est nécessaire de lui adjoindre un axe des temps (l'horloge) qui permet le repérage complet dans l’espace-temps, mais aussi un observateur lié au référentiel. En effet, on observe expérimentalement que l'écoulement du temps dépend du référentiel, aussi contre-intuitif que cela puisse sembler. Donc une personne dans un référentiel donné, munie d'une horloge, peut constater une distortion entre le temps donné par son horloge et le temps donné par une horloge identique se trouvant dans un autre référentiel en mouvement par rapport au premier. On se reportera au cours sur la relativité pour plus de détails.

Référentiel de Copernic

On appelle référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, un référentiel ayant pour origine le centre du Soleil et dont les axes pointent vers des étoiles fixes.

Référentiels galiléens

Parmi tous les référentiels, on postule l’existence d'une classe de référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

On peut montrer que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen.

Le terme "galiléen" fait lui-même référence à Galilée, qui le premier définit un tel référentiel. <citation future>

Remarque : dans les faits, aucun référentiel réel n'est galiléen, parce qu'aucun système n'est totalement isolé (on ne peut s'abstraire de l'influence gravitationnelle des astres) mais on peut en considérer certains comme de bonnes approximations, en fonction de l'usage que l’on souhaite en faire. En l’occurrence, on considérera pour la suite de la leçon que le référentiel de Copernic est galiléen, tout en restant conscient que cette approximation est valable parce que les temps caractéristiques des phénomènes que l’on veut observer sont très petits devant la période de rotation du Soleil autour du centre galactique (de l’ordre de quelques centaines de millions d'années).

Le référentiel terrestre

Définitions

Lorsque l’on étudie des mouvements à partir de la Terre (l'observateur muni de son horloge se trouve sur Terre), deux référentiels sont naturellement privilégiés :

Le référentiel géocentrique

C'est le référentiel ayant pour origine le centre de la terre et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel héliocentrique. Il est en mouvement de translation non uniforme par rapport au référentiel héliocentrique, à cause du mouvement de la Terre autour du Soleil.

Le référentiel terrestre

Il s'agit du référentiel totalement lié à la terre, dont les axes se déplacent avec la rotation de la Terre. Lorsqu'on effectue une expérience dans un laboratoire, c’est également le référentiel du laboratoire (puisque le laboratoire se déplace avec la Terre)

Dénombrons les mouvements du référentiel terrestre :

• Translation elliptique autour du Soleil
• Rotation autour de l’axe des pôles
• Mouvements de précession et de nutation (voir le cours sur les mouvements de la toupie et du gyroscope)

En l’occurrence, on peut négliger les mouvements de précession, car la rotation de l’axe des pôles autour de la normale au plan écliptique s'effectue avec une période de l’ordre de 26 000 ans, grande devant les temps caractéristiques des phénomènes que l’on veut observer. Ce n’est pas toujours le cas : dans les temps historiques, par exemple, ce mouvement de précession des équinoxes est responsable de la variation du ciel nocturne. Prenons l'exemple des signes astrologiques : lors de leur conception, ils correspondaient à l'emplacement de la constellation correspondante dans la voûte céleste lors de la naissance. Ils se sont ensuite formalisés au seul jour de naissance, et il a désormais environ un signe de décalage entre le signe astrologique "vrai", céleste, et le signe conventionnel retrouvé à partir du jour de naissance.

Le jour sidéral

Comparaison entre jour sidéral et jour solaire :la Terre positionnée en 1 met un jour sidéral pour arriver en 2 et un jour solaire pour arriver en 3

Le jour sidéral est défini comme la période de temps qui s'écoule entre deux instants où un point de la Terre fait face à la même étoile fixe. Il y a entre le jour solaire de 60x60x24=86400 secondes et le jour sidéral une différence due au mouvement de la Terre autour du Soleil. En effet, le jour solaire peut être défini comme la période de temps qui s'écoule entre deux instants où un point de la Terre fait face au Soleil (i.e. l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux midis au même point). Mais le Soleil n’est pas fixe dans le ciel de la Terre, et le mouvement de la Terre autour du Soleil s'effectuant dans le même sens que la rotation de la Terre sur elle-même, le jour sidéral est plus court que le jour solaire.

On peut calculer facilement le jour sidéral en constatant qu'au cours d'une année (temps qu’il faut à la Terre pour retrouver la même position dans le référentiel héliocentrique) de 365,25 jours solaires, la Terre effectue une rotation de plus par rapport aux étoiles :

$T=86400\times {\frac {365,25}{366,25}}\simeq 86164s$

La rotation de la Terre s'effectue donc avec une vitesse :

$\omega _{e}={\frac {2\pi }{T}}\simeq 7,292\times 10^{-5}s^{-1}$

On pourra se reporter avec profit à l’article Jour sidéral de Wikipédia qui expose une autre méthode de calcul

La relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre

On écrit la relation fondamentale de la dynamique pour un point $O$ de masse $m$ dans le référentiel terrestre noté $R_{T}$. Le référentiel héliocentrique supposé galiléen est noté $R_{0}$. Il nous faut tenir compte de toutes les forces en présence : forces gravitationnelles, forces dues au mouvement de la Terre, et autres forces (électrostatiques, électromagnétique, forces de contact, de rappel...). $C$ désigne le centre de la Terre.

$m{\vec {a}}_{O/R_{T}}={\vec {f}}+\underbrace {m{\vec {G}}_{C}(O)-m{\vec {\omega }}_{e}\wedge (\omega _{e}\wedge {\overrightarrow {CO}})} _{pesanteur~vulgaire}\underbrace {-2m\omega _{e}\wedge {\vec {v}}_{O/R_{T}}} _{force~de~Coriolis}\underbrace {+m{\vec {G}}_{A}(O)-m{\vec {a}}_{C/R_{0}}} _{terme~de~maree}$

Avec :

• ${\vec {f}}$ : forces autres que les forces gravitationnelles et celles dues au déplacement de la Terre dans le référentiel héliocentrique
• $m{\vec {G}}_{C}(O)$ : force gravitationnelle due à la Terre
• $-m{\vec {\omega }}_{e}\wedge (\omega _{e}\wedge {\overrightarrow {CO}})$ : force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre
• $-2m\omega _{e}\wedge {\vec {v}}_{O/R_{T}}$ : force de Coriolis, due à la rotation de la Terre, qui s'applique aux corps en mouvement
• $m{\vec {G}}_{A}(O)$ : forces gravitationnelles dues aux autres astres
• $-m{\vec {a}}_{C/R_{0}}$ : accélération d'entraînement due à la translation de la Terre autour du soleil

L'ordre choisi pour les différents termes peut paraître étrange (notamment la séparation des termes gravitationnels, et la séparation des différents termes dus au déplacement de la Terre), mais il a sa logique :

• ${\vec {f}}$ correspond aux forces que l’on veut étudier lorsqu'on se place dans le référentiel du laboratoire en le considérant comme galiléen
• Le terme $m{\vec {G}}_{c}(O)-m{\vec {\omega }}_{e}\wedge (\omega _{e}\wedge {\overrightarrow {CO}})$ représente l'attraction de la terre et la force due à sa rotation s'appliquant à tous les objets pesants. On l'appelle la pesanteur vulgaire, elle est constante en un point donnée de la Terre et correspond au poids lorsque l’on considère le référentiel géocentrique comme galiléen (pas de terme de marée).
• La force de Coriolis ne s'applique qu'aux objets en mouvement, d'où le traitement particulier qui lui est réservé.
• Enfin, le dernier terme $m{\vec {G}}_{A}(O)-m{\vec {a}}_{c/R_{0}}$ représente les forces de marées dues aux astres et au mouvement de la Terre autour du Soleil. Bien que l’on ne puisse s'en abstraire, il varie au cours du temps en un point donné de la Terre.

La force d'inertie d'entraînement : pesanteur vulgaire

La pesanteur vulgaire est, comme on l'a dit, composée de la force de gravité due à la masse $M$ de la Terre et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre avec une vitesse $\omega _{e}$. On se propose de calculer le poids ${\vec {P}}$ d'une masse $m$ en un point $O$ de la surface de Terre situé à la latitude $\lambda$. $C$ désigne le centre de la Terre ici assimilée à un corps de rayon $R$ à distribution sphérique de masse, $G$ est la constante de gravitation universelle. Le repère choisi est orthonormé et a pour origine $O$, pour axe z la direction $CO$, pour axe x une direction tangente au méridien terrestre, pour axe y une direction tangente au parallèle terrestre

<manque un dessin pour montrer les angles alpha et lambda>

${\vec {P}}={\begin{Bmatrix}P_{x}\\P_{y}\\P_{z}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}m\omega _{e}^{2}Rcos\lambda sin\lambda \\0\\-G{\frac {Mm}{R^{2}}}+m\omega _{e}^{2}Rcos^{2}\lambda \end{Bmatrix}}$

La direction de ${\vec {P}}$ définit la verticale. On factorise l’expression de ${\vec {P}}$ par $m$ et on note ${\vec {g}}$ le vecteur résultant : ${\vec {g}}$ est l'accélération de la gravité commune, d'où l’expression ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$

On peut tout de suite constater que ${\vec {g}}$ n’est pas colinéaire à ${\overrightarrow {CO}}$, en d’autre terme la verticale d'un point n’est pas confondue avec la direction de ce point au centre de la Terre. Ces deux directions forment un angle $\alpha$ certes petit mais néanmoins existant, et que l’on peut calculer.

$tan\alpha =\left|{\frac {P_{x}}{P_{z}}}\right|={\frac {\omega _{e}^{2}Rsin\lambda cos\lambda }{GM/R^{2}-\omega _{e}^{2}Rcos^{2}\lambda }}$ <formule à vérifier>

À titre d'exemple, pour $\lambda =45^{\circ }$, $\alpha$ vaut environ 6 secondes d'arc.

La force de Coriolis

Nommée d’après Gaspard-Gustave Coriolis, ingénieur et mathématicien français qui l'observa le premier, cette force s'applique à tous les objets pesants en mouvement sur Terre. D'ordinaire assez faible pour être négligée, elle n'en a pas moins quelques conséquences remarquables

Le pendule de Foucault

Une étude complète et détaillée du pendule de Foucault dépasse le cadre de ce cours, il s'y trouve matière à une thèse (ce fut d'ailleurs le sujet de celle de Heike Kamerlingh Onnes). Nous nous bornerons ici à étudier le seul effet de la force de Coriolis dans le référentiel terrestre sur un pendule pesant supposé parfait et lâché sans vitesse initiale.

La force de Coriolis s'écrit $-2m\omega _{e}\wedge {\vec {v}}_{O/R_{T}}$, ${\vec {v}}_{O/R_{T}}$ étant en l’occurrence la vitesse du pendule.

Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte de la force de Coriolis dont l’accélération s'écrit $2\Omega ({\vec {v}}\wedge {\vec {k}})$ où ${\vec {v}}$ est la vitesse du pendule, ${\vec {k}}$ est le vecteur unitaire porté par l’axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur $\Omega {\vec {k}}$ a pour composantes dans le repère Oxyz ${\begin{pmatrix}0\\\Omega \cos {\theta }\\\Omega \sin {\theta }\end{pmatrix}}$. ${\vec {v}}$ a pour composantes ${\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\0\end{pmatrix}}$, de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes ${\begin{pmatrix}2{\dot {y}}\Omega \sin {\theta }\\-2{\dot {x}}\Omega \sin {\theta }\\2{\dot {x}}\Omega \cos {\theta }\end{pmatrix}}$.

Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : $\left\{{\begin{matrix}{\ddot {x}}=-\omega ^{2}x+2{\dot {y}}\Omega \sin {\theta }\\{\ddot {y}}=-\omega ^{2}y-2{\dot {x}}\Omega \sin {\theta }\end{matrix}}\right.$.

En utilisant la notation complexe $z=x+iy$, le système à résoudre s'écrit : ${\ddot {z}}+2i\Omega \sin {\theta }{\dot {z}}+\omega ^{2}z=0$

Proposons une solution classique de la forme $z(t)=e^{rt}$, on en déduit que le complexe $r$ doit vérifier l'équation du second degré : $r^{2}+2i\Omega \sin(\theta )r+\omega ^{2}=0$ qui s'écrit aussi : $\left(r+i\Omega \sin(\theta )\right)^{2}-i^{2}\omega ^{2}\left(1+\sin ^{2}(\theta ){\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)=0$

En notant $\omega _{0}={\sqrt {\omega ^{2}+\Omega ^{2}\sin ^{2}(\theta )}}$, les deux solutions de l'équation du second degré sont : $r=-i(\Omega \sin(\theta )\pm \omega _{0})$ et on peut alors en déduire que la solution générale du système est de la forme :

$z(t)=e^{-i\Omega \sin {\theta }t}\left(c_{1}e^{i\omega _{0}t}+c_{2}{e}^{-i\omega _{0}t}\right)\qquad \qquad (1)$

où $c_{1}$ et $c_{2}$ sont deux constantes, éventuellement complexes, qu'on peut déterminer par deux conditions initiales comme par exemple, la position du pendule et sa vitesse à la date $t=0$ qui conduisent aux deux équations :

$\left\{{\begin{aligned}z(0)=&c_{1}+c_{2}\,,\\{\dot {z}}(0)=&-i\left(\Omega \sin(\theta )z(0)-\omega _{0}(c_{1}-c_{2})\right)\end{aligned}}\right.\,.$

En remplaçant les expressions trouvées pour les deux constantes dans l'équation (1), on peut alors écrire une équation plus aisément interprétable :

$z(t)=e^{-i\Omega \sin {\theta }t}\left[z_{0}\left(\cos(\omega _{0}t)+i{\frac {\Omega \sin(\theta )}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\right)+{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\right]\qquad \qquad (2)$

Ainsi, si ${\dot {z}}_{0}$ est nulle et $z_{0}$ un réel pur, la trajectoire au sol du pendule dans un repère tournant selon une pulsation $\Omega \sin(\theta )$ est une ellipse parcourue en une période de ${\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$.

Nota : pas la seule manière de constater la rotation terrestre : cf. gyroscope

Les forces de marées

Ordre de grandeur et élargissement

• Les marées terrestres
• La limite de Roche

Références bibliographiques

Ayant servis à l'élaboration du cours

• Toute la mécanique, Bocquet Farroux Renault (Ed. Dunod)