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Test

Démonstration

Début d'un lemme

Lemme

Soit $(G,\star )$ un groupe et $P$ une partie non vide de $G$ stable pour $\star$. Si $(P,\star )$ est un groupe alors c’est un sous-groupe de $G$

Fin du lemme

Démonstration

Puisque $P$ est un groupe alors il admet un élément neutre noté $e_{P}$. On a évidemment $e_{P}\star e_{P}=e_{P}$. Puisque $e_{P}$ est un élément de $G$, il est inversible dans $G$ d'inverse $e_{P}^{-1}$.

On peut donc écrire $e_{P}^{-1}\star (e_{P}\star e_{P})=e_{P}^{-1}\star e_{P}$.

Par associativité de $\star$, on a $(e_{P}^{-1}\star e_{P})\star e_{P}=e_{P}^{-1}\star e_{P}$ soit $e_{G}\star e_{P}=e_{G}$ d'où $e_{P}=e_{G}$

$P$ est un groupe donc tout élément $x\in P$ admet un inverse $y$ tel que $x\star y=y\star x=e_{P}=e_{G}$, donc $y$ est l"inverse de $x$ dans $G$, or cet inverse est unique donc $x^{-1}\in P$

Pour conclure $P\subset G$, l'élément neutre de $G$ appartient à $P$ et l’inverse de tout élément de $P$ est dans $P$, donc $P$ est bien un sous-groupe de $G$.

 

Démontrons enfin la proposition.

$(1\Rightarrow 2)$ On sait que $P^{*}=P\backslash \{0\}$ est une partie non vide de $\mathbb {K} ^{*}=\mathbb {K} \backslash \{0\}$, stable pour $\times$. De plus $\times$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P^{*},\times )$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d'un sous-groupe de $(\mathbb {K} ^{*},\times )$ et donc $1\in P$ et $x\in P\Rightarrow x^{-1}\in P$.

De même $P$ est une partie non vide de $\mathbb {K}$, stable pour $+$. De plus $+$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P,+)$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d'un sous-groupe de $(\mathbb {K} ,+)$ et donc $0\in P$ et $x\in P\Rightarrow -x\in P$.

Ainsi $P$ est stable pour les lois $+$ et $\times$, contient $0$ et $1$ et est stable par passage au symétrique, donc $(P,+,\times )$ est un sous-anneau de $(\mathbb {K} ,+,\times )$

$(2\Rightarrow 3)$ $P$ est un sous-anneau de $\mathbb {K}$ donc $P$ est un sous-groupe additif de $\mathbb {K}$.

Puisque $P$ est un sous-anneau de $\mathbb {K}$, $\times$ est une loi de composition interne, associative admettant $1_{\mathbb {K} }$ comme élément neutre, de plus si $x\in P^{*}$ alors $x^{-1}\in P^{*}$ donc $(P^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(\mathbb {K} ^{*},\times )$.

$(3\Rightarrow 1)$ $(P,+)$ étant un sous-groupe il est donc non vide de plus $+$ est une loi de composition interne donc $P$ est stable pour $+$.

De même $(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe $\times$ est une loi de composition interne, donc si $x,y\in P^{*}$ alors $x\times y\in P$. De même si $x\in P^{*}$ alors $0_{P}\times x=x\times 0_{P}=0_{P}\in P$ donc $P$ est stable pour $\times$.

Puisque $+$ et $\times$ sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois.

Puisque $(\mathbb {K} ,+)$ est abélien, la loi $+$ est commutative. Et puisque $\mathbb {K}$ est un corps commutatif, $(\mathbb {K} ^{*},\times )$ est aussi abélien donc la loi $\times$ est commutative.

Puisque $\mathbb {K}$ est un corps, la loi $\times$ est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans $P$.

$(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe d'élément neutre ${1_{\mathbb {K} }}\neq 0_{\mathbb {K} }$, $P$ est non nul.

Donc $P$ est un corps.