Utilisateur:Javelot1/Bac à sable/Les complexes

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Les complexes

Les nombres complexes: l'insuffisance des nombres réels à désigner les racines de polynômes $x^{2}+1\,\!$ et conduit à la conception des nombres complexes. Sont signalés par $\mathbb {C}$ .

Les racines du polynôme ci-dessus sont ${\sqrt {-1}}$ et $-{\sqrt {-1}}$, et la façon dont nous définissons le nombre $i\,\!$ pour collaborer avec ses racines autour de ce problème, alors: $i={\sqrt {-1}}$.

Tous les nombres complexes (appelés aussi imaginaires) sont de la forme :

$z=a+bi\,\!$ où $a\,\!$ et $b\,\!$ sont des nombres réels. Appelez $a\,\!$ partie réelle et $bi\,\!$ partie imaginaire du complexe.

Lorsque, $b=0\,\!$ z est un nombre réel, et où $a=0\,\!$, z est un nombre imaginaire pur.

Donc, en déduire que les nombres réels sont inclus dans l’ensemble du complexe, qui est le même:

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \cup \mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Ces chiffres sont généralement représentés comme des vecteurs sur un graphique où l'axe des x est le nombre réel et l'axe y est la partie imaginaire. Comme on peut le traiter en tant que vecteurs, peut être exprimée de deux manières principales d’écriture exponentielle et trigonométrique.

On peut donc en déduire que la somme de complexe répond à la règle du parallélogramme, à savoir:

$z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,\!$

Le produit est complexe:

Par trigonométrie/binôme ?:

$zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=(ac-bd)+(ad+cb)i\,\!$

En écriture exponentielle:

$r_{\alpha }s_{\beta }=(rs)_{\alpha +\beta }\,\!$

Le ratio de la complexité est le suivant:

Par trigonométrie/binôme?:

${\frac {z}{w}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$

En écriture exponentielle:

${\frac {r_{\alpha }}{s_{\beta }}}=(rs)_{\alpha -\beta }\,\!$

La racine nième d'un complexe:

En écriture exponentielle:

${\sqrt[{n}]{r_{\alpha }}}=({\sqrt[{n}]{r}})_{\frac {\alpha +2\pi k}{n}},k=0,1,2,3,...,n-1$

Nième racines d'un complexe sont les sommets du polygone régulier de côtés n.