Utilisateur:Karl1263/Bac à sable/Mathématiques

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Tracer une belle fonction de formule $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}+12x-1$ (de 2 en 2 dans l'axe des y). Si le courage vous emporte, vous pouvez aussi tracer les tangentes pour les différentes questions ! Je vous en serais reconnaissant. Merci.

Exercice : Fonction dérivée

Vous pouvez imprimer le sujet.

On considère une fonction ƒ définie et dérivable sur l'intervalle [-2,5 ; 3,5]. On donne ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C passe par les points A(-1 ; -8), B(0,5 ; 5,5) et le point D d'abscisse 2. Les tangentes T_a et T_d aux points A et D à la courbe C sont horizontales. La tangente T_b au point B à la courbe C passe par le point E(1,5 ; 19).

Partie A

1. Quelle est l'image de -1 par ƒ ?

2. Tracer les tangentes T_a, T_b, T_d à C en A, B et D.

3. Déterminer $f'(-1)$ ; $f'(0,5)$ et $f'(2)$ ou $f'$ désigne la fonction dérivée de ƒ.

4. Déterminer des équations des tangentes T_a et T_b à C.

5. Donner par lecture graphique une valeur approchée des solutions de l'équation : $f(x)=2$.

6. Résoudre graphiquement l'inéquation : $f'(x)\leq 0$

7. C est la courbe représentative d'une fonction ƒ définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=-2x^{3}+ax^{2}+bx+c$

a. Déterminer $f'(x)$ en fonction de a et b.

b. En utilisant $f(-1)$, $f'(-1)$ et $f'(2)$, justifier que les réels a, b et c sont solutions du système d'équations suivant :

${\begin{cases}a-b+c=-10\\-2a+b=6\\4a+b=24\end{cases}}$

c. Déterminer les réels a, b et c puis donner une équation de C.

Partie B

La fonction ƒ dont on connaît la courbe C est définie sur l'intervalle [-2,5 ; 3,5] par :

$f(x)=-2x^{3}+3x^{2}+12x-1$

1. Calculer $f'(x)$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de x ainsi que les variations de ƒ sur [-2,5 ; 3,5]

3. Déterminer une équation de la tangente T_f à C au point F d'abscisse -2. Tracer la tangente T_f sur la figure ci-dessus.

4. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de la solution la plus petite de l'équation $f(x)=2$.

Solution

Partie A

1. L'image de -1 par ƒ est -8.

2.

3. $f'(-1)=0$

$f'(0,5)=13,5$

car, en exprimant le coefficient directeur de T_A : ${\frac {y_{E}-y_{B}}{x_{E}-x_{B}}}={\frac {19-5,5}{1,5-0,5}}=13,5$

$f'(2)=0$

4. $T_{A}:y=-8$

${\begin{aligned}T_{B}:y&=13,5(x-0,5)+5,5\\&=13,5x-6,75+5,5\\&=13,5x-1,25\\\end{aligned}}$

5. $f(x)=2$

$S=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$

avec $x_{1}\approx -1,9$

$x_{2}\approx 0,25$

$x_{3}\approx 3,5$

6. Résoudre l'équation $f'(x)\leq 0$ c’est chercher tous les intervalles où ƒ est décroissante.

$S=[-2,5;-1]\cup [2;3,5]$

7. a. $f'(x)=-6x^{2}+2ax+b$

b.

${\begin{cases}f(-1)=-8\\f'(-1)=0\\f'(2)=0\end{cases}}$

${\begin{cases}2+a-b+c=-8\\-6-2a+b=0\\-24+4a+b=0\end{cases}}$

${\begin{cases}a-b+c=-10\\-2a+b=6\\4a+b=24\end{cases}}$

c.

${\begin{cases}a=3\\b=12\\c=-1\end{cases}}$

$S=\{(3,12,-1)\}$

On en déduit une équation de C : $y=-2x^{3}+3x^{2}+12x-1$

Partie B

1. $f'(x)=-6x^{2}+6x+12$

2. $f'(x)$ s'annule en $x=-1$ et $x=2$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-2,5&&-1&&2&&3,5\\\hline {\rm {Signe~de~}}x+1&&-&0&+&&+&\\\hline {\rm {Signe~de~}}x-2&&-&&-&0&+&\\\hline {\rm {Signe~de~}}(x+1)(x-2)&&+&0&-&0&+&\\\hline {\rm {Signe~de~}}f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline &19&&&&19&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &\\&&&-8&&&&-8\\\hline \end{array}}$

3. ${\begin{aligned}T_{F}:y&=-24(x+2)+3\\&=-24x-48+3\\&=-24x-45\\\end{aligned}}$

4.