Utilisateur:Mathildecomte603/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité E

Mon réseau

Je suis Mathilde Comte.

En faisant coïncider le graphe avec la première et dernière lettre commune, on trouve l1 = a et l2 = e.

Je décide de supprimer le lien de l1 à c et je relie f à l2, comme affiché sur la photo :

Composantes

L'ensemble du réseau affiché sur le graphe est une composante fortement connexe.

L1 ou a est le noeud le plus central car il possède 4 voisins. Puis b, d, f et l2 (ou e) sont également centraux, avec 3 voisins. c est le noeud le moins central avec 2 voisins.

Vecteur propre et Page Rank

I. Matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle

l1 b c d l2 f

A = ${\begin{pmatrix}0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&1\\0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}$

M

	l1	b	c	d	l2	f
l1	0	1/2	0	1/2	0	0
b	0	0	1/2	0	1/2	0
c	1/5	1/5	0	1/5	1/5	1/5
d	0	0	1/2	0	0	1/2
l2	1	0	0	0	0	0
f	1/2	0	0	0	1/2	0

Donne sous forme de matrice :

M = ${\begin{pmatrix}0&1/2&0&1/2&0&0\\0&0&1/2&0&1/2&0\\1/5&1/5&0&1/5&1/5&1/5\\0&0&1/2&0&0&1/2\\1&0&0&0&0&0\\1/2&0&0&0&1/2&0\end{pmatrix}}$

MT

	l1	b	c	d	l2	f
l1	0	0	1/5	0	1	1/2
b	1/2	0	1/5	0	0	0
c	0	1/2	0	1/2	0	0
d	1/2	0	1/5	0	0	0
l2	0	1/2	1/5	0	0	1/2
f	0	0	1/5	1/2	0	0

Donne sous forme de matrice :

MT = ${\begin{pmatrix}0&0&1/5&0&1&1/2\\1/2&0&1/5&0&0&0\\0&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&1/5&0&0&0\\0&1/2&1/5&0&0&1/2\\0&0&1/5&1/2&0&0\end{pmatrix}}$

II. Calcul d'une itération de PageRank avec s=0,9:

On initialise le vecteur v0 de sorte que :

v0 = ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$

Mt * v0 = ${\begin{pmatrix}0&0&1/5&0&1&1/2\\1/2&0&1/5&0&0&0\\0&1/2&0&1/2&0&0\\1/2&0&1/5&0&0&0\\0&1/2&1/5&0&0&1/2\\0&0&1/5&1/2&0&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1,7\\0,7\\1\\0,7\\1,2\\0,7\end{pmatrix}}$

1,7 + 0,7 + 1 + 0,7 + 1,2 + 0,7 = 6

On a bien une matière totale de 6.

Il faut ensuite multiplier la matière dans chaque nœud par 0,9 , puis ajouter 0,1 de la matière totale entre tous les nœuds.

Donc on effectue Mtv0 * 0,9 + 0,1

${\begin{pmatrix}1,7\\0,7\\1\\0,7\\1,2\\0,7\end{pmatrix}}$*0,9 + ${\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1,53\\0,63\\0,9\\0,63\\1,08\\0,63\end{pmatrix}}$+ ${\begin{pmatrix}1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\\1/10\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1,63\\0,73\\1\\0,73\\1,18\\0,73\end{pmatrix}}$

1,63 + 0,73 + 1 + 0,73 + 1,18 + 0,73 = 6

On a bien une matière totale de 6.