Utilisateur:Nicostella/essai

Partie A

On étudie dans cette partie la suite $(U_{n})$ de premier terme $U_{0}=2$, définie par :

$U_{n+1}={\frac {4U_{n}-1}{U_{n}+2}}$.

1. Calculer les termes $U_{1}$, $U_{2}$, $U_{3}$, $U_{4}$.

2.a. Démontrer que pour tout entier naturel n :

${\frac {4U_{n}-1}{U_{n}+2}}=4-{\frac {9}{U_{n}+2}}$

2.b. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

$1\leq U_{n}\leq 2$

2.c. En déduire que $(U_{n})$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

Partie B

On note $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

$f(x)={\frac {4x-1}{x+2}}$

On étudie dans cette partie la suite $(U_{n})$ définie par :

$U_{n+1}=f(U_{n})$.

et de premier terme $U_{0}$, un réel strictement supérieur à $1$.

1.a. Étudier les variations de $f$.

1.b. En déduire que pour tout réel $x$ strictement supérieur à $1$, on a $f(x)>1$.

On admettra dans la suite de l'exercice que la suite $(U_{n})$ est minorée par 1.

2.a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :

$U_{n+1}-U_{n}=-{\frac {(U_{n}-1)^{2}}{U_{n}+2}}$

2.b. En déduire le sens de variation de $(U_{n})$.

3.a. Démontrer que $(U_{n})$ converge vers un réel $L$.

3.b. Déterminer la valeur de $L$.