Utilisateur:Nicostella/exercice

Exercice 3

Partie A : Question de cours

1. Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a;+\infty [$. Compléter la phrase suivante :

On dit que $f$ admet une limite finie $L$ en $+\infty$ si $...$

2. Démontrer le "théorème des gendarmes".

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a;+\infty [$ et $L$ un nombre réel.

Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$,

et si pour tout $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$,

alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $L$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=e^{x}-x-1$,

et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

La droite $(D)$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote à $(C)$.

On a représenté la courbe $(C)$ et la droite $(D)$.

1. Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$,

une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point $M$ d'abscisse $a$.

2. Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b-a=-1$.

3. En déduire et effectuer une construction de la tangente $(T)$ à $(C)$au point $M$ d'abscisse 1,5.

On fera apparaître le point $N$ correspondant.

Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe de $f$.

2. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, les inégalités suivantes :

$(1)\ e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\ ;\ (2)\ e^{\frac {-1}{n+1}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}$.

3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

${\Bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\Bigl )}^{n}\leq e$

4.

a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :

$(3)\ e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}$.

b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ :

${\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}=1+{\frac {1}{n}}$

c) En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ :

$e\leq {\Bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\Bigl )}^{n+1}$.

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de :

${\Bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\Bigl )}^{n}$

puis sa limite en $+\infty$.