Utilisateur:QuentinSIREN/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité D

On choisit d'ajouter au réseau projeté celui de Marine et d'Elsa ce qui donne :

Question 1 :


Nombre de noeuds / Degré	1	3
2	Quentin	/
7	Antoine	/
8	Marine	/
9	/	Esla / Thomas / Lana

Question 2 :

Afin de connaître la corrélation de voisins entre degré et degré il faut noter que l'on cherche le degré des noeuds d'une part et le degré des voisins d'une autre. La question précédente nous a permis de connaître le degré des noeuds. Il faut à présent calculer pour chaque noeud le degré des voisins. Ce calcul se fait par une moyenne. Si on prend le noeud Quentin, il a deux voisins (Marine et Antoine) qui ont respectivement 8 et 7 degrés. Alors pour connaître la corrélation du degré des voisins de Quentin il suffit de faire : C(Q) = (7+8)/2= 7,5. La corrélation du degré des voisins du noeud Quentin est donc de 7,5. En procédant de la même façon pour les autres noeuds ont obtient :


Noeud	degré	degré voisins	Corrélation de voisins (calcul)
Quentin	2	7,5	C(Q) = $\left({\frac {(7+8)}{2}}\right)$ = 7,5
Antoine	7	7,4	C(A)= $\left({\frac {(2+8+9+9+9)}{5}}\right)$ =7,4
Marine	8	7,2	C(M)= $\left({\frac {(2+7+9+9+9)}{5}}\right)$ =7,2
Esla Lana Thomas	9	8,25	C(E/L/T)= $\left({\frac {\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)\left({\frac {7+8+9+9}{4}}\right)}{3}}\right)$ =8,25

Question 3 :

Au vu des résultats et du graphique on peut dire que le réseau est assortatif concernant le degré des noeuds, car malgré une petite baisse avec les degrés 7 et 8, on constate globalement que le degré des voisins augmentent avec le degré des noeuds. Toutefois les données présentes ici ne permettent pas de conclure pleinement à l'assortativité du réseau, c'est plus une hypothèse qu'une affirmation. Mais la courbe semble indiquer qu'on se dirige vers un réseau assortatif.

Question 4 :

Le coefficient de clustering d'un noeud se calcul en divisant les pairs de voisins connectés par les pairs de voisins soit :


Noeud	Coefficient de clustering	Calcul
Quentin	1	$\left({\frac {1}{\left({\frac {2*(2-1)}{2}}\right)}}\right)$
Antoine	0,7	$\left({\frac {7}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$
Marine	0,7	$\left({\frac {7}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$
Esla	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$
Thomas	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$
Lana	1	$\left({\frac {6}{\left({\frac {4*(4-1)}{2}}\right)}}\right)$

Question 5 :

Pour faire le tableau de la corrélation combinée entre le degré et le coefficient de clustering on fait comme suit :

Degré Coefficient
Noeud	Degré	Coefficient de clustering
Quentin	2	1
Antoine	7	0,7
Marine	8	0,7
Elsa	9	1
Lana	9	1
Thomas	9	1

Degré Coefficient (moyenne)
Degré	Coefficient de clustering
2	1
7	0,7
8	0,7
9	1/3

Seul la moyenne du degré 9 est calculé car pour les autres noeuds il n'y a pas de degrés égaux.

Question 6 :

Sur la tableau et graphique de la question 1 on a étudié la distribution des degrés soit la connectivité des noeuds. On observe que le réseau se compose de beaucoup de noeuds très connectés puisque la moyenne des degrés pour un noeud du réseau est de $\left({\frac {(2+7+8+9+9+9)}{6}}\right)=7,3$ et un seul noeud moins connecté et plus isolé (Quentin).

Sur le tableau et graphique de la question 2 on a étudié la corrélation des degrés entre degré soit entre le degré d'un noeud et le degré de ses voisins. On a ainsi pu constater que globalement plus le nombre de degré d'un noeud augmenté et plus le nombre de degrés voisins augmentés aussi. Cela nous a permis de conclure que plus un noeud et connecté et plus ses voisins les sont aussi.

Sur le tableau et graphique de la question 5, on a étudié la corrélation de propriété entre les degrés et le coefficient de clustering. On constate notamment grâce au graphique que plus le degré d'un noeud augmente plus sont coefficient diminue. Or cela nous permet d'avoir un modèle de prédiction sur la transitivité des noeuds. En effet il semble que plus le degré d'un noeud augmente et plus la probabilité qu'il soit connecté avec d'autres noeuds augmente également.

Question 7 :
Si on prend le noeud Antoine qui possède un coefficient de 0,7, on constate qu'il est relié à tous les noeuds et que touts les noeuds forment des pairs de noeuds entre eux excepté le noeud Quentin qui ne fait qu'une seule paire avec le noeud Marine. Pour obtenir un coefficient de 1, il faudrait que le noeud Quentin forme trois nouvelles pairs de noeuds, donc il faudrait rajouter 3 liens : - un avec le noeud Elsa

- un avec le noeud Thomas

- un avec le noeud Elsa

On obtient alors :

C(A) $\left({\frac {10}{\left({\frac {5*(5-1)}{2}}\right)}}\right)$ =1

Question 8 :

Si on prend le noeud Quentin qui possède un coefficient de 1, on constate que ce coefficient ne dépend que des noeuds auxquels il est relié soit Marine et Antoine. Ainsi si on supprime tous les liens en double et toutes les connexions afin de garder un simple réseau connexe, on obtient :

On a donc pu enlever 16 liens sans modifier le coefficient de clustering de Quentin qui est toujours de 1.

Question 9 :

La proximité se définit comme l'inverse de la somme des distances. Si l'on calcul la proximité de chaque noeud on obtient :


Noeud	Proximité	Calcul
Quentin	$\left({\frac {1}{8}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+2+2+2}}\right)$
Antoine	$\left({\frac {1}{5}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+1}}\right)$
Marine	$\left({\frac {1}{5}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+1}}\right)$
Elsa	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$
Lana	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$
Thomas	$\left({\frac {1}{6}}\right)$	$\left({\frac {1}{1+1+1+1+2}}\right)$

On constate donc que le noeud avec la plus petite proximité est Quentin et on en compte deux pour la plus grande : Marine et Antoine. Ce résultat est logique car les noeuds Marine et Antoine sont les plus connectés avec tous les noeuds et le noeud Quentin est celui le moins connecté.

L'intermédiarité se définit comme la somme pour chaque pair des autres noeuds de la fraction des chemins les plus courts entre ces noeuds et le premier. Si l'on calcul l'intermédiarité on obtient :


Noeud	Intermédiarité
Quentin	0
Antoine	1,5
Marine	1,5
Elsa	0
Lana	0
Thomas	0

On a donc pour l'intermédiarité la plus petite les noeuds Elsa, Thomas, Lana et Quentin et pour l'intermédiarité la plus grande les noeuds Marine et Antoine. Ce résultat est logique car le noeud Quentin n'est pas directement relié aux noeuds Elsa, Lana et Thomas, aussi son seul passage est par les noeuds Antoine et Marine, ce qui explique leur forte intermédiarité. Ils font le pont entre les noeuds Lana, Elsa, Thomas et le noeud Quentin.