Utilisateur:RM77/Cours de spé/Homogénéité

On va s'efforcer de donner l'unité de grandeurs très employées en physique dans le système MKSA (Mètre-Kilogramme-Seconde-Ampère)

Donner l'unité des grandeurs suivantes :

• position
• vitesse
• accélération
• force $F$
• charge électrique $q$
• permittivité du vide $\epsilon _{0}$
• champ électrique $E$
• potentiel électrique $U$
• résistance $R$
• force magnétique $B$
• perméabilité du vide $\mu _{0}$
• capacité $C$

Solution

• position : $m$
• vitesse : $m.s^{-1}$
• accélération : $m.s^{-2}$
• force $F$ : On utilise l’expression du Principe Fondamental de la Dynamique : $\sum F=ma$. L'unité d'une force est donc $m.kg.s^{-2}$, ou le Newton.
• charge électrique $q$ : On utilise $i={\frac {dq}{dt}}$ d'où l'unité : $A.s$, ou Coulomb.
• permittivité du vide $\epsilon _{0}$ : on utilise l’expression de la force électrostatique $F={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$, d'où l'unité : $A^{2}.s^{4}.kg^{-1}.m^{-3}$, ou Farad par mètre.
• champ électrique $E$ : on utilise ${\overrightarrow {E}}={\frac {\overrightarrow {F}}{q}}$ d'où l'unité : $m.kg^{-1}.A^{-1}.s^{-3}$, ou Volt par mètre.
• potentiel électrique $U$ : on utilise ${\overrightarrow {E}}=-{\overrightarrow {grad}}\,U$, le gradient étant une dérivée spatiale, on a l'unité : $kg.m^{2}.A^{-1}.s^{-3}$, ou Volt.
• résistance $R$ : on utilise $R={\frac {U}{I}}$, d'où l'unité : $kg.m^{2}.A^{-2}.s^{-3}$, ou Ohm.
• force magnétique $B$ : on utilise l’expression de la force de Lorentz ${\overrightarrow {F}}=q({\overrightarrow {E}}+{\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {B}})$ en magnéto-statique (ie ${\overrightarrow {E}}={\overrightarrow {0}}$), d'où l'unité : $kg.A^{-1}.s^{-2}$, ou Tesla.
• perméabilité du vide $\mu _{0}$ : on utilise la loi de Biot et Savart : ${\overrightarrow {B}}=\mu _{0}I{\frac {{\overrightarrow {dl}}\wedge {\overrightarrow {u}}}{4\pi r^{2}}}$, d'où l'unité : $kg.m.A^{-2}.s^{-2}$, ou Henry par mètre.
  • NB : on trouve que l'homogénéité de $\epsilon _{0}\mu _{0}$ est $s^{2}.m^{-2}$, l'inverse d'une vitesse au carré... Et une application numérique donne évidemment $\epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1$, avec c la célérité de la lumière.
  • NB2 : on peut également donner l'homogénéité du rapport ${\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}$ : $kg^{2}.m^{4}.A^{-4}.s^{-6}$, qui est le carré d'une résistance. En effet, on appelle résistance caractéristique du vide le rapport ${\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}$
• capacité $C$ : On utilise la formule de la capacité d'un condensateur plan infini : $C={\frac {\epsilon _{0}S}{e}}$ où S surface et e épaisseur du condensateur ; d'où l'unité : $A^{2}.s^{4}.kg^{-1}.m^{-2}$, ou Farad.
  • NB : on pouvait aussi utiliser la relation électrocinétique $q=CU$.