Utilisateur:RM77/Cours de spé/Mobilité - Hyperstatisme

Rappels sur les chaines de solides

Liaisons équivalentes

Liaisons en parallèle

$\forall i\in [1,n],\{V_{L_{eq}}\}=\{V_{L_{i}}\}$ et $\{T_{L_{eq}}\}=\sum \{T_{L_{i}}\}$

Liaison en série

$\{V_{L_{eq}}\}=\sum \{V_{L_{i}}\}$ $\forall i\in [1,n],\{T_{L_{eq}}\}=\{T_{L_{i}}\}$

Chaines

Chaines fermées simples

→ 1 seul cycle

Chaines fermées complexes

Plusieurs chaines simples imbriquées. Soit $\gamma =l-n+1$ le nombre cyclomatique de la chaine, représentant le nombre de cycles indépendants de la chaine, avec l le nombre de liaisons de la chaine complexe et n le nombre de solides de la chaine.

Degrés de mobilité et d'hyperstatisme

Mobilité d'un mécanisme

Définition

La mobilité m d'un système est décomposée en deux termes :

• $m_{u}$ est le degré de mobilité utile : il représente les mouvements qui contribuent à la loi entrée/sortie de la chaine de solides
• $m_{i}$ est le degré de mobilité interne : il représente les mouvements qui sont réalisés indépendamment des autres pièces. La plupart du temps, il s'agit de rotations propres.
  

NB : Si $m=0$, alors le système est immobile.

Calcul

Pour chaque torseur cinématique de liaison $L_{i}$, on a $n_{ci}$ inconnues cinématiques indépendantes (exemple : 2 pour un pivot glissant, 5 pour une ponctuelle...). Le nombre total d'inconnues cinématiques est $I_{c}=\sum n_{ci}$.

Pour toutes les boucles indépendantes, on obtient $E_{c}=6\gamma$ équations.

On obtient un système de $E_{c}$ équations à $I_{c}$ inconnues, notons $r$ le rang de ce système. On a $m=I_{c}-r$

Hyperstatisme

.... Un mécanisme est hyperstatique quand h>0(h étant le nombre de degré d'hyperstatisme)

Relations entre hyperstatisme et mobilité

$m-h=E_{s}-I_{s}$
$m-h=-6\gamma +I_{c}$ ou $h=m+6\gamma -I_{c}$.