Utilisateur:RM77/Rappels de cours

Ce cours est un récapitulatif des points importants du programme de mathématiques de Terminale S. Il peut servir notamment dans une optique de révision du baccalauréat.
Attention : il est important de considérer ce cours simplement comme un formulaire, pas comme une référence. De nombreuses démonstrations des théorèmes, propriétés et énoncés de ce cours sont à savoir pour le BAC.

Suite numérique

Suite convergente - Suite divergente

Notations

Une suite numérique est une application d’une partie $\mathrm {E}$ de $\scriptstyle \mathbb {N}$ dans $\scriptstyle \mathbb {R}$ :

formule à faire, problème de TeX

un illustre inconnu te propose : $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {E} }:E\subset \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {R}$

Au lieu de $(u_{n})$, on écrit $u_{n}$. La suite $u$ se note $(u_{n})_{n\in \mathrm {E} }$ ou plus simplement $(u_{n})$. On dit aussi que $u_{n}$ est le terme général de rang $n$ de la suite.

Définitions

• Soit $(u_{n})$ une suite numérique et $l$ un nombre réel. On dit que $(u_{n})$ admet pour limite le réel $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors $\lim u_{n}=l$ ou $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$.
• On dit qu'un suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si tout intervalle de la forme $\left[A;+\infty \right[$ (respectivement $\left]-\infty ;A\right]$) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
  

On note alors $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$ (respectivement $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=-\infty$).

• On dit que $(u_{n})$ est convergente ou qu'elle converge s'il existe un réel $l$ tel que $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l$.
• On dit que $(u_{n})$ est divergente ou qu'elle diverge si elle n’est pas convergente (la limite est $+\infty$, $-\infty$ ou n'existe pas).

Fonctions logarithmes et exponentielles

Fonction exponentielle

Définition

Il existe une unique fonction $f$, dérivable sur $\mathbb {R}$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$, on la nomme fonction exponentielle, elle est notée exp. Par convention, on pose pour tout réel $x$, $\exp {x}=e^{x}$.

Propriétés

Propriétés de la fonction exponentielle

• $\exp {0}=1$
• $\exp$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $(\exp {x})'=\exp {x}$
• $\forall x\in \mathbb {R} ,\exp {x}>0$
• la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$

Généralisation

• Quel que soit $a>0$, quelque que soit $x$ réel,

$a^{x}=e^{x\ln {a}}$

• Formules (quels que soient $a>0,b>0,(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$)
  • $a^{\alpha }\times a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$
  • ${\frac {a^{\alpha }}{a^{\beta }}}=a^{\alpha -\beta }$
  • $(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta }$
  • $(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }b^{\alpha }$
  • $\left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }={\frac {a^{\alpha }}{b^{\alpha }}}$
• Étude de la fonction : $x\longmapsto a^{x}$

à faire

Intégration

Primitive et intégrale d’une fonction continue

Définitions

On démontre qu'une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives c'est-à-dire des fonctions admettant pour dérivée $f$ sur $I$. Si l'une de primitives est $F$, toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $F+C$ où $C$ est une constante réelle arbitraire.
Il en existe une seule qui prend une valeur arbitraire donnée en un point donné de $I$.
Le nombre $F(b)-F(a)$, $a$ et $b$ étant des éléments quelconques de $I$, se note $\left[F(t)\right]_{a}^{b}$ ou encore $\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$ et s’appelle l’intégrale, de $a$ à $b$, de la fonction continue $f$.

Calcul de volumes

L'espace étant rapporté à un repère orthonormé, le volume d’un solide est $V=\int _{a}^{b}S(z)\,\mathrm {d} z$, $S(z)$ étant l'aire de l'intersection par un plan de cote $z$ parallèle à $(xOy)$, $S$ étant une fonction continue et le solide étant obtenu lorsque $z$ varie de $a$ à $b$ ($a<b$).

Remarque d’un illustre inconnu : il y a une erreur dans cet énoncé, à savoir que « S est continue. » Prend un cube par exemple… il y a deux discontinuités et pourtant… la formule marche sans problème. On peut tout à fait intégrer des fonctions non continues.

Équations différentielles

Résolution de l'équation $y'=ay$

Les solutions de l'équation différentielles $y'=ay$ avec $a\in \mathbb {R} ^{*}$ sont les fonctions $f_{k}$ définies sur $\mathbb {R}$ par $f_{k}(x)=ke^{ax}$ où $k$ est un réel quelconque.
Remarque : il existe une seule solution prenant une valeur donnée $y_{0}$ en un point $x_{0}$ de $\mathbb {R}$.

Résolution de l'équation $y'=ay+b$

avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$.
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$ sont les fonctions $f_{k}$ définies sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{k}(x)=ke^{ax}-{\frac {b}{a}}$ où $k$ est un réel quelconque.

Arithmétique

Catégorie:Mathématiques