Utilisateur:Sharayanan/BàS

Leçon : intégration de Lebesgue' (niveau ?)

« Plan »

• Tribus
• Introduction à la théorie de la mesure
• Construction de l'intégrale de Lebesgue
• Espaces L^p

Tribus

Introduction

Pour définir la notion de mesure, il nous faut étendre la notion d'intervalle, pour inclure des objets plus généraux. Les tribus, ou σ-algèbres, remplissent ce rôle et seront omniprésentes dans le reste de notre étude.

Définitions

Une partie T de A est une tribu lorsque :

• $\emptyset \in T$ ;
• $\forall B\in T,\quad \complement _{A}T\in A$ (stable par complémentarité);
• si $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)\in N$ (stable par unions dénombrables)

On appelle tribu engendrée par C la plus petite tribu contenant C, on la note $\sigma (C)$.

Caractérisation

Exemples

• L'ensemble ${\mathcal {P}}(A)$ des parties de A est une tribu.

Mesure