Utilisateur:Sharayanan/Electromag

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Passage à l'espace des phasesModifier

On note E et B les champs électrique et magnétique, respectivement. Ces champs sont liés par les quatre équations de Maxwell. En l'absence de charges, elles s'écrivent :

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On peut développer ces champs dans l'espace des phases, via la transformée de Fourier, si bien que :

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Dans cet espace, l'opérateur nabla peut être réduit à l'opérateur k, de sorte qu'on peut réécrire les équations de Maxwell :

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En posant ω = ck, on peut réécrire en manipulant les produits vectoriels cette dernière équation sous la forme :

 

Rapportant cette expression dans la troisième des équations de Maxwell dans l'espace des phases, on obtient :

 

En particulier, pour deux k différents, l'évolution des champs est indépendante. On peut réécrire cette relation :

 

Développement en OPPModifier

On pose la relation :

 

Avec N une fonction paire. Alors :

 

Les champs électriques et magnétiques étant réels, cela impose des conditions sur le conjugué de leur transformée de Fourier. On a ainsi :

 

La fonction α suffit ainsi à connaitre E et sa dérivée, puisque l’on a :

 
 

Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l’expression de tout à l’heure :

 

En utilisant :

 

et sachant que la définition de α impose qu'elle est proportionnelle à

 

on peut réécrire l'équation terminant la section précédente sous la forme :

 

Cela, après multiplication par  , donne enfin :

 

Ce qui peut s'interpréter comme une équation de Schrödinger.

Énergie électromagnétiqueModifier

Impulsion du champ EMModifier

Moment cinétique du champ EMModifier

Rappels de MQModifier