Utilisateur:Sharayanan/tmp
Chapitre 2
modifierExercice : formes et applications linéaires
modifierÉnoncé
modifierDans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace .
Partie 1
modifier- Trouver le vecteur traduisant par son produit scalaire l’application qui à un vecteur de l'espace associe sa coordonnée selon l'axe x.
- Faire de même avec les applications qui à un vecteur associent leur coordonnée suivant y et z.
- Représenter le tenseur identité, expliquer le lien avec les deux questions précédentes.
Partie 2
modifier- Soit le vecteur v de coordonnées (1, 0, -2). Montrer que l’application ƒ(u) = v × u est linéaire.
- Trouver le tenseur F qui représente l’application ƒ.
- Quelles sont les propriétés de F ?
- Représenter F dans la base suivante :
Correction
modifierPartie 1
modifier1. Il s'agit du vecteur unitaire . On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en x de ce dernier.
2. De même, il s'agit respectivement de et de .
3. Le tenseur identité, dans la base orthonormée, a la forme suivante :
- Puisqu'on a par ailleurs la relation de fermeture :
- on peut interpréter ce tenseur comme l’application qui associe à tout vecteur un vecteur dont les coordonnées sont identiques :
Partie 2
modifier1. Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire λ. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :
- Ce qui montre que l’application ƒ est linéaire.
2. Les coordonnées de F sont :
- On peut déjà remarquer, par les propriétés du produit vectoriel, que , c'est-à-dire que F est anti-symétrique. Aussi, nous pourrons nous contenter de ne calculer que ses trois composantes indépendantes, les autres s'en déduisant :
- Ainsi, dans cette base, F est représenté par la matrice suivante, que l’on note également F par abus de notations :
3. On a les propriétés suivantes :
- F est anti-symétrique (a) ;
- Sa trace est nulle (conséquence de (a)) ;
- F(v) = 0 (b) ;
- F est de rang 2 ;
- Le déterminant de F est nul (conséquence de (b), puisque v ne l'est pas) ;
- Le polynôme caractéristique de F est
- F possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres complexes conjuguées ( ) ;
- Le noyau de F est la droite dirigée par v.
…
4. De même qu'en 2, on accède aux trois coordonnées de F dans cette nouvelle base
- Ainsi, dans cette base, F est représentée de la manière suivante :
- Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autres, diagonale par blocs) de la représentation de F dans cette base. En particulier, dans cette base, F² est diagonale.
Exercice : rotation du repère
modifierÉnoncé
modifierSoit T un tenseur. Soit une base B0.
On considère la base B1, rotation de B0. On représente la rotation associée par un tenseur orthogonal Ω.
- Rappeler la définition d'un tenseur orthogonal.
- Exprimer les vecteurs vi de B1 à partir des vecteurs bi de B0.
- Exprimer la matrice T1 qui représente T dans B1 à partir de la matrice T0 qui le représente dans B0.
Correction
modifier- Dans la première base, pour tout vecteur b0,
- Dans la seconde base, on a :
- Donc, d’après 2, on a :
- C'est encore à dire :
- Et enfin, en utilisant 2 et 1 pour inverser 2 :
- Ceci étant vrai pour tout vecteur b0, il s'ensuit l'égalité suivante :
Exercice : produit tensoriel
modifierExercice : décompositions d'un tenseur
modifierChapitre 3
modifierExercice : éléments mésoscopiques
modifierExercice : tenseur infinitésimal
modifierExercice : cisaillement infinitésimal
modifierChapitre 4
modifierExercice : déformations simples
modifierÉnoncé
modifierPartie 1
modifierSoit un solide occupant le cube dans la configuration de référence. On lui impose une configuration :
par un moyen dont on ne se préoccupe pas.
- Représenter la configuration actuelle ;
- Calculer le tenseur E de Green-Lagrange ;
- Calculer la variation de volume ;
- Calculer l'élongation selon les directions e1 et e2
- Calculer l'élongation selon les directions et .
- Trouver les directions principales de déformation et les élongations associées.
- Faire l’application numérique pour