Chapitre 2 modifier

Exercice : formes et applications linéaires modifier

Énoncé modifier

Dans cet exercice, on suppose connue une base orthonormée de l'espace  .

Partie 1 modifier
  1. Trouver le vecteur traduisant par son produit scalaire l’application qui à un vecteur de l'espace associe sa coordonnée selon l'axe x.
  2. Faire de même avec les applications qui à un vecteur associent leur coordonnée suivant y et z.
  3. Représenter le tenseur identité, expliquer le lien avec les deux questions précédentes.
Partie 2 modifier
  1. Soit le vecteur v de coordonnées (1, 0, -2). Montrer que l’application ƒ(u) = v × u est linéaire.
  2. Trouver le tenseur F qui représente l’application ƒ.
  3. Quelles sont les propriétés de F ?
  4. Représenter F dans la base suivante :
 

Correction modifier

Partie 1 modifier

1. Il s'agit du vecteur unitaire  . On peut s'en convaincre de plusieurs façons, la plus simple étant de constater que le produit scalaire de ce vecteur avec tout autre vecteur donne la coordonnée en x de ce dernier.

2. De même, il s'agit respectivement de   et de  .

3. Le tenseur identité, dans la base orthonormée, a la forme suivante :

 
Puisqu'on a par ailleurs la relation de fermeture :
 
on peut interpréter ce tenseur comme l’application qui associe à tout vecteur un vecteur dont les coordonnées sont identiques :
 
Partie 2 modifier

1. Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire λ. On a alors, par linéarité du produit vectoriel :

 
Ce qui montre que l’application ƒ est linéaire.

2. Les coordonnées de F sont :

 
On peut déjà remarquer, par les propriétés du produit vectoriel, que  , c'est-à-dire que F est anti-symétrique. Aussi, nous pourrons nous contenter de ne calculer que ses trois composantes indépendantes, les autres s'en déduisant :
 
 
 
Ainsi, dans cette base, F est représenté par la matrice suivante, que l’on note également F par abus de notations :
 

3. On a les propriétés suivantes :

  • F est anti-symétrique (a) ;
  • Sa trace est nulle (conséquence de (a)) ;
  • F(v) = 0 (b) ;
  • F est de rang 2 ;
  • Le déterminant de F est nul (conséquence de (b), puisque v ne l'est pas) ;
  • Le polynôme caractéristique de F est  
  • F possède une valeur propre nulle et deux valeurs propres complexes conjuguées ( ) ;
  • Le noyau de F est la droite dirigée par v.

4. De même qu'en 2, on accède aux trois coordonnées de F dans cette nouvelle base

 
 
 
Ainsi, dans cette base, F est représentée de la manière suivante :
 
Toutes les propriétés vues en 3 sont évidemment conservées, mais on peut remarquer la forme plus élégante (entre autres, diagonale par blocs) de la représentation de F dans cette base. En particulier, dans cette base, est diagonale.

Exercice : rotation du repère modifier

Énoncé modifier

Soit T un tenseur. Soit une base B0.

On considère la base B1, rotation de B0. On représente la rotation associée par un tenseur orthogonal Ω.

  1. Rappeler la définition d'un tenseur orthogonal.
  2. Exprimer les vecteurs vi de B1 à partir des vecteurs bi de B0.
  3. Exprimer la matrice T1 qui représente T dans B1 à partir de la matrice T0 qui le représente dans B0.

Correction modifier

  1.  
  2.  
  3. Dans la première base, pour tout vecteur b0,
 
Dans la seconde base, on a :
 
Donc, d’après 2, on a :
 
C'est encore à dire :
 
Et enfin, en utilisant 2 et 1 pour inverser 2 :
 
Ceci étant vrai pour tout vecteur b0, il s'ensuit l'égalité suivante :
 

Exercice : produit tensoriel modifier

Exercice : décompositions d'un tenseur modifier

Chapitre 3 modifier

Exercice : éléments mésoscopiques modifier

Exercice : tenseur infinitésimal modifier

Exercice : cisaillement infinitésimal modifier

Chapitre 4 modifier

Exercice : déformations simples modifier

Énoncé modifier

Partie 1 modifier

Soit un solide occupant le cube   dans la configuration de référence. On lui impose une configuration :

 
 
 

par un moyen dont on ne se préoccupe pas.

  1. Représenter la configuration actuelle ;
  2. Calculer le tenseur E de Green-Lagrange ;
  3. Calculer la variation de volume ;
  4. Calculer l'élongation selon les directions e1 et e2
  5. Calculer l'élongation selon les directions   et  .
  6. Trouver les directions principales de déformation et les élongations associées.
  7. Faire l’application numérique pour  

Exercice : déformations simples - * modifier

Chapitre 5 modifier

Exercice : contraintes dans une poutre modifier

Exercice : plan de Mohr modifier

Exercice : essai brésilien modifier

Exercice : torsion d'un cylindre modifier

Chapitre 6 modifier

Exercice : changement de référentiel modifier

Chapitre 7 modifier

Exercice : tassement du sol modifier

Exercice : compressibilité d'un matériau poreux modifier

Chapitre 8 modifier

Exercice : plaque percée modifier

Exercice : plaque entaillée modifier

Exercice : éclatement d'un ballon de football modifier