Utilisateur:Thierry613/Combinatoire141227

Introduction

Présentation

Cette étude a pour but d'explorer les possibilités d'utilisation d’outils combinatoires pour élaborer des exercices musicaux sur des difficultés d'ordre mélodique, harmonique ou rythmique.

Sous cette formulation un peu alambiquée se cache une idée très simple : explorer toutes les combinaisons d'un même motif mélodique, varié à travers l'étendue d'un instrument, ou bien d'enchaînements d'accords, ou bien de motifs rythmiques. Nous fournirons bien entendu toutes sortes d'exemples pour illustrer cette idée.

Beaucoup de méthodes existent depuis fort longtemps pour travailler son instrument de musique. Cependant, depuis quelques années, nous avons pris l'habitude d'élaborer nos propres exercices, pour travailler des points de difficulté précis, et avons eu l’idée de formaliser et organiser de façon plus systématique la création d'exercices.

Au départ, nous sommes parti de l’idée de travailler les gammes pentatoniques dans le cadre de l'improvisation jazz ; cependant, il est tout à fait possible d'élargir l’application de la combinatoire à toutes sortes de matériaux : gammes "classiques", accords de 3 à 5 sons, motifs rythmiques, etc.

Notes sur la rédaction

L'auteur

Nous avons choisi l'emploi du pluriel de modestie, d’une part parce que c’est un emploi qui nous paraît adapté au style de Wikiversité, d’autre part parce que nous espérons attirer dans ce projet des personnes de bonne volonté, musiciens, mathématiciens ou autre, dans la mesure où nous accueillons bien volontiers toutes remarques, objections ou contributions plus importantes, qui ne pourront qu'enrichir cette recherche.

Le lecteur

Cette étude s'adresse plutôt à des musiciens amateurs de mathématiques ou à des mathématiciens amateurs de musique...

Précisons que, dans tout le texte, pour des raisons de commodité, nous employons le genre grammatical masculin en tant que genre neutre, de sorte que les termes tels que musicien, instrumentiste, lecteur, etc. désignent aussi bien les hommes que les femmes.

Les outils mathématiques

Nous tenons à rassurer le lecteur non mathématicien. Les seules notions un peu spécifiques que nous utiliserons sont la permutation, la combinaison et l'arrangement. Nous renvoyons le lecteur peu familier de ces notions aux articles suivants :

• Permutation
• Arrangement (mathématiques)
• Combinaison (mathématiques)
• Combinatoire

Matériaux & outils

Objets d'étude

L'exploration systématiques des permutations d'une liste d'éléments peut s'appliquer à toutes sortes de matériaux musicaux :

• motifs mélodiques
• notes d'un accord arpégé
• enchaînements d'accords
• motifs rythmiques
• notes cibles dans l'improvisation
• accents
• doigtés
• etc.

À propos de la transposition des exercices

Nous supposons le lecteur capable de transposer dans toutes les tonalités les exercices proposés en do majeur. Toutefois nous estimons utile de rappeler deux manières différentes de transposer :

Transposition "stricte"

Soit une gamme en do majeur à transposer en ré majeur :

devient

Transposition "mentale"

La même gamme en do majeur peut être jouée en changeant mentalement l'armure. Ainsi

devient

Le lecteur constatera qu’il ne joue pas dans le même mode. Pour plus de détails sur les modes musicaux, nous conseillons la lecture des documents suivants :

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_%28musique_tonale%29
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Mode_(musique)
• http://www.jeanpierrepoulin.com/Mode.htm

Permutations

Nous considérons une liste de n objets, que l’on peut désigner avec des chiffres ou des lettres. Nous cherchons toutes les permutations existantes de cette liste.

Notons que le nombre de permutations que l’on peut obtenir correspond au nombre d'arrangements de n objets parmi n $A_{n}^{n}=n!$.

Par exemple, pour une liste composée des éléments 1, 2 et 3, nous obtenons les $A_{3}^{3}=3!=6$ permutations suivantes :

123, 132, 213, 231, 312, 321

Pour une liste de 4 éléments, nous obtenons $A_{4}^{4}=4!=24$ arrangements ou permutations :

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321

Pour une liste de 5 éléments, nous obtenons $A_{5}^{5}=5!=120$ arrangements ou permutations :

12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254, 13425, 13452, 13524, 13542, 14235, 14253, 14325, 14352, 14523, 14532, 15234, 15243, 15324, 15342, 15423, 15432, 21345, 21354, 21435, 21453, 21534, 21543, 23145, 23154, 23415, 23451, 23514, 23541, 24135, 24153, 24315, 24351, 24513, 24531, 25134, 25143, 25314, 25341, 25413, 25431, 31245, 31254, 31425, 31452, 31524, 31542, 32145, 32154, 32415, 32451, 32514, 32541, 34125, 34152, 34215, 34251, 34512, 34521, 35124, 35142, 35214, 35241, 35412, 35421, 41235, 41253, 41325, 41352, 41523, 41532, 42135, 42153, 42315, 42351, 42513, 42531, 43125, 43152, 43215, 43251, 43512, 43521, 45123, 45132, 45213, 45231, 45312, 45321, 51234, 51243, 51324, 51342, 51423, 51432, 52134, 52143, 52314, 52341, 52413, 52431, 53124, 53142, 53214, 53241, 53412, 53421, 54123, 54132, 54213, 54231, 54312, 54321

Pour une liste de 6 éléments, nous obtenons $A_{6}^{6}=720$ permutations. Pour 7 éléments, nous obtenons $A_{7}^{7}=5040$ permutations.

Quand le nombre d'éléments augmente, le nombre de permutations croît très vite et il est de plus en plus laborieux – et de moins en moins intéressant au plan musical – de les énumérer pour les appliquer à des matériaux musicaux.

Séquences variées

Définition

Nous appelons "séquence variée" une suite de n motifs, qui boucle sur elle-même, et dans laquelle figure une et une seule fois chaque enchaînement de 2 motifs différents.

Par exemple, 123213 est une séquence variée car dans celle-ci figure une seule fois les enchaînements : 12, 13, 21, 23, 31 et 32.

Comme une séquence variée boucle sur elle-même, nous la notons généralement 123...n (1). De plus, pour plus de lisibilité, nous insérons des espaces dans la séquence, sans que cela ait d'incidence sur la logique de construction. Ainsi, la séquence variée 123213 sera en général notée 123 213 (1).

Chaque élément est différent du précédent, et donc du suivant.

De plus, par définition, le motif qui apparaît en premier est toujours noté 1, le motif qui apparaît en 2e est toujours noté 2, et ainsi de suite.

Propriétés

Longueur

Si n est le nombre de motifs différents, la longueur d'une séquence variée à n motifs est :

$l=A_{n}^{2}=n*(n-1)$

Par exemple, une séquence variée à 3 éléments a une longueur de 3 * 2 = 6 éléments ; une séquence variée à 4 éléments a une longueur de 4 * 3 = 12 éléments ; une séquence variée à 5 éléments a une longueur de 5 * 4 = 20 ; et ainsi de suite.

Éléments de départ

On peut déduire de la définition qu'une séquence variée commence toujours par 121 ou 123.

Séquences les plus courantes

Les séquences les plus courantes sont simplement celles que nous utilisons le plus souvent pour deux raisons différentes, et qui s'excluent l'une l'autre :

1. Celles qui exposent au départ tous les éléments différents.

Exemple : les séquences variées à 5 éléments qui commencent par 12345 1...

2. Celles qui exposent toutes les combinaisons de l'élément 1 avec tous les autres éléments.

Exemple : les séquences variées à 5 éléments qui commencent par 12131415 1...

Opération de "décalage"

Ce que nous appelons "décalage" est simplement une permutation circulaire, obtenue en déplaçant le premier élément d'une séquence pour le placer à la fin de celle-ci.

Exemple : la séquence 123 213 devient 232 213.

Ensuite, nous renommons les différents éléments de la séquence de façon que le motif qui apparaît en premier soit 1, le motif qui apparaît en 2e soit 2, et ainsi de suite.

Dans l'exemple précédent, la séquence 232 213 devient 121 132.

À quoi sert l'opération de décalage ?

L'opération de décalage sert à obtenir toute une série de séquences variées différentes (mais avec le même nombre d'éléments) de la séquence variée de départ. Nous donnerons plus loin des détails sur l’intérêt d’avoir plusieurs séquences variées à notre disposition.

Variantes obtenues par décalage

Séquences variées à 3 motifs

Soit la séquence de départ : 123 213 (1).

Par décalage d'un rang vers la droite, nous obtenons 232 131 (2) qui correspond à 121 323 (1).

Par décalage de 2 rangs vers la droite, nous obtenons 321 312 (3) qui correspond à 123 132 (1).

Par décalage de 3 rangs vers la droite, nous obtenons 213 123 (2) qui correspond à 123 213 (1) qui est identique à la séquence de départ.

Séquences variées à 4 motifs

séquence de départ : 1234 1324 1432 (1)

Nous pouvons constater, de même que dans la séquence variée à 3 motifs, que chaque couple de motifs (12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43) sont représentés une et une seule fois.

Par décalage d'un rang vers la droite, nous obtenons : 2341 3243 1421 (2) qui correspond à : 1234 2132 4314 (1)

Par décalage de 2 rangs vers la droite, nous obtenons : 3413 2431 4212 (3) qui correspond à : 1231 4213 2434 (1)

Par décalage de 3 rangs vers la droite, nous obtenons : 4132 4314 2123 (4) qui correspond à : 1234 1321 4243 (1)

Par décalage de 4 rangs vers la droite, nous obtenons : 1324 1432 1234 (1) qui correspond à : 1234 1423 1324 (1)

Séquences variées à 5 motifs

séquence de départ : 12345 13524 14253 15432 (1)

Par décalage d'un rang vers la droite, nous obtenons : 23451 35241 42531 54321 (2) qui correspond à : 12345 24135 31425 43215 (1)

Par décalage de 2 rangs vers la droite, nous obtenons : 34513 52414 25315 43212 (3) qui correspond à : 12341 35242 53143 21545 (1)

Par décalage de 3 rangs vers la droite, nous obtenons : 45135 24142 53154 32123 (4) qui correspond à : 12342 51315 24321 45354 (1)

Par décalage de 4 rangs vers la droite, nous obtenons : 51352 41425 31543 21234 (5) qui correspond à : 12314 52541 32153 42435 (1)

Par décalage de 5 rangs vers la droite, nous obtenons : 13524 14253 15432 12345 (1) qui correspond à : 12345 15432 13524 14253 (1)

Autres séquences à 5 motifs

1. 12345 13524 14253 15432 (1)
2. 12345 24135 31425 43215 (1)
3. 12341 35242 53143 21545 (1)
4. 12342 51315 24321 45354 (1)
5. 12314 52541 32153 42435 (1)
6. 12345 15432 13524 14253 (1)
7. 12345 43215 24135 31425 (1)
8. 12343 21541 35242 53145 (1)
9. 12321 45342 51315 24354 (1)
10. 12134 52415 32351 42543 (1)
11. 12345 14253 13524 15432 (1)
12. 12345 31425 24135 43215 (1)
13. 12342 53141 35243 21545 (1)
14. 12314 25352 41321 54345 (1)
15. 12341 52514 32135 42453 (1)
16. 12345 15432 14253 13524 (1)
17. 12345 43215 31425 24135 (1)
18. 12343 21542 53141 35245 (1)
19. 12321 45315 24342 51354 (1)
20. 12134 52351 42415 32543 (1)

Séquences variées à 6 motifs

séquence de départ : 123456 132435 465162 142536 415263 (1)

Par décalage d'un rang vers la droite, nous obtenons : 234561 324354 651621 425364 152631 (2) qui correspond à : 123456 213243 546516 314253 641526 (1)

Résultats

Arpèges

Sur un accord de 3 sons

Prenons un accord de 3 sons, par exemple, un accord de do majeur, constitué des 3 notes : c, e, g. On peut l'arpéger de 6 façons différentes :

ceg, ecg, gce, cge, egc, gec

Pour travailler ces arpèges, nous pouvons utiliser par exemple :

Sur un accord de 4 sons

Pour un accord de 4 sons, par exemple, $C^{M7}$, constitué des notes do, mi, sol, si, nous aurons 24 arpèges différents :

Sur un accord de 5 sons

Pour un accord de 5 sons, prenons par exemple $C^{\Delta \,9}$, constitué des notes do, mi, sol, si, ré. Nous aurons 120 arpèges différents :

Enchaînement de deux arpèges différents

• toutes les permutations enchaînées à toutes les permutations

Gammes

Motifs de variation

Motif de 2 éléments

13 14 15

Motif de 3 éléments

123 124 125 134 135

143 145

15/3/ 15/3\ 15\3/ 15\3\

15/4 15\4

indiquer pourquoi on élimine

(132) (142) (152)

ce qui donne 18 variantes avec les mouvements / et \ (ascendant et descendant)

+ éventuellement 121 131 14/1 14\1 15/1 15\1

Motif de 4 éléments

1234 1235 1243 1245 1253 1254

1324 1325 1345 (1353) 1354

1423 1425 1435 1453 1523 1524 1534 1543

ce qui donne 18 variantes sans compter les les mouvements / et \ (ascendant et descendant)

Motif de 5 éléments

12345 (...) 15423

ce qui donne 18 variantes sans compter les les mouvements / et \ (ascendant et descendant)

Liste récapitulative

2 3 (+2) 3 9 (+9) 4 18 (+?) 5 18 (+?)

---

48 (+11-?)

Gamme pentatonique

Motif de base

c d e g a c

6 notes

720 arrangements

Divers

Articulation

• articulations proprement dites
• coups d'archets
• etc.

Doigtés

Exemple : l'échauffement des doigts au violon

Pour élaborer un exercice d'échauffements des doigts au violon, nous cherchons toutes les permutations de 4 doigts plus la corde à vide. Nous avons les doigtés suivants : 0 (corde à vide), 1,2,3,4, soit 5 éléments. Pour une liste de 5 éléments, nous avons $A_{5}^{5}=5!=120$ permutations :

01234, 01243, 01324, 01342, 01423, 01432, 02134, 02143, 02314, 02341, 02413, 02431, 03124, 03142, 03214, 03241, 03412, 03421, 04123, 04132, 04213, 04231, 04312, 04321, 10234, 10243, 10324, 10342, 10423, 10432, 12034, 12043, 12304, 12340, 12403, 12430, 13024, 13042, 13204, 13240, 13402, 13420, 14023, 14032, 14203, 14230, 14302, 14320, 20134, 20143, 20314, 20341, 20413, 20431, 21034, 21043, 21304, 21340, 21403, 21430, 23014, 23041, 23104, 23140, 23401, 23410, 24013, 24031, 24103, 24130, 24301, 24310, 30124, 30142, 30214, 30241, 30412, 30421, 31024, 31042, 31204, 31240, 31402, 31420, 32014, 32041, 32104, 32140, 32401, 32410, 34012, 34021, 34102, 34120, 34201, 34210, 40123, 40132, 40213, 40231, 40312, 40321, 41023, 41032, 41203, 41230, 41302, 41320, 42013, 42031, 42103, 42130, 42301, 42310, 43012, 43021, 43102, 43120, 43201, 43210

Nous faisons correspondre le motif 01234 à :

et ainsi de suite.

Nous pouvons donc proposer l'exercice suivant, sur la 2^e corde (la), en legato, en jouant toute une mesure (voire plusieurs) dans le même coup d'archet :

Remarques

• L'exercice peut aisément être joué sur les autres cordes, avec les mêmes doigtés.
• Il n’est pas obligatoire de travailler cet exercice d'une seule traite. Un professeur conseillera probablement de choisir une, deux ou quatre mesures à travailler en boucle, avec les conseils d’usage : propreté du son, netteté de l'articulation, etc.

Analyse & discussion

Exemples "historiques"

Jazz

• Patterns for jazz (Jerry Coker et al.)
  

(dans cet ouvrage, relever toutes les progressions harmoniques)

• "Les gammes pentatoniques pour l'improvisation de jazz" (Ramon Ricker)

Autres exemples éventuels

• "12 études journalières" (destinée à fortifier les 4e et 5e doigts), Schröder op.62
• "L'art de toucher le clavecin" (Couperin)
• Petits Préludes & Fuguettes (Bach)

Annexes

Permutations & combinaisons

Pour générer des permutations et des combinaisons, nous avons utilisé les outils en ligne suivants :

• http://www.dcode.fr/generateur-permutations
• http://www.dcode.fr/combinaisons

Fonctions Excel

• mise au point outils Excel
• formaliser et expliquer (?)

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