Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I

MÉCANIQUEModifier

Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, mouvements pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes. Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un repère orthonormé direct   et on note  ,  ,  , les vecteurs unitaires correspondants aux trois axes. L'axe   étant vertical orienté positivement vers le haut, le vecteur accélération dû à la pesanteur s'écrit   avec  .

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestreModifier

On considère une tige homogène, de masse  , de longueur   et de centre d'inertie   (les dimensions transversales de la tige sont négligeables devant  ). Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical   (voir schéma no1). Soit un point   appartenant à la tige tel que  . On note   un axe passant par  , perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur  ; de même, on note   un axe passant par  , perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur  . On donne le moment d'inertie du solide relativement à l'axe  , soit  .

    1. Le moment d'inertie   de la tige relativement à l'axe   peut se calculer à partir de la formule   (formule découlant du théorème de Huygens). On désire obtenir  , déterminer la valeur du rapport   dans ce cas. Ceci sera maintenu dans la suite du problème (partie 3).
    2. Soumise l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan  , l'axe   (étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle  . La liaison en O étant supposée parfaite, la réaction d'axe en   se limite à une force   agissant en  .
      Établir les expressions de l'énergie cinétique   et de l'énergie potentielle de pesanteur  , du solide en fonction de  ,  ,   et  .
    3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement; en déduire l'équation différentielle pour la variable  .
    4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec   ce qui correspond à des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3.; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée  .
      A.N.  
Schéma no1

Partie 2 - Oscillateur harmoniqueModifier

Une plateforme-support, de masse  , de centre d'inertie  , est guidée de façon à ne pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe   (voir schéma no2). Elle comporte un évidemment dont l’intérêt apparaîtra à la partie 3. La liaison guides-plateforme est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur  , l'autre extrémité du ressort étant fixée au point  . On repère la position de la plateforme par l'abscisse   du point  , soit  . La longueur au repos du ressort étant  , à l'équilibre, cette abscisse vaut donc  ,   désignant la longueur de la plateforme (voir schéma no3). On écarte le point   de sa position d'équilibre d'une quantité   et on lâche la plateforme sans vitesse initiale.

    1. On pose  . Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction, de   et  .
    2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de  ,  ,  ,  ; celle-ci étant constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la variable  .
    3. Déterminer l’expression de   en fonction du temps.
Schéma no2
Schéma no3

Partie 3 - Oscillations coupléesModifier

La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma no4. L'articulation en   étant supposée parfaite, on note  , la réaction d'axe s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment   et  , deux fonctions du temps. On notera   et  , les deux vecteurs unitaires de la base polaire du plan vertical :  ,   se déduisant de   par une rotation de  .

    1. Exprimer l'accélération de   suivant  , puis   suivant   et  , en fonction de  ,   et de leurs dérivées; en déduire les composantes du vecteur   accélération de  , dans le référentiel du laboratoire, suivant   et  .
    2. Par application du théorème de la résultante cinétique à la tige, écrire les expressions de   et   en fonction de  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
    3. Déterminer l’expression du moment cinétique   de la barre, relativement au point  , dans le référentiel du laboratoire.
    4. Écrire   et établir une relation liant la quantité   et  ,  ,  ,  .
    5. D'après les questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle faisant intervenir  ,   et  .
    6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la question 3.5. peut s'écrire sous la forme :   (équation I) où   est un coefficient dont on donnera l'expression.
    7. Par application du théorème de la résultante cinétique à la plateforme, en projection sur l'axe des  , écrire une équation différentielle faisant intervenir  ,  ,  ,   et  .
    8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue peut se mettre sous la forme :   (équation II).
      Expliciter les expressions de la pulsation   et du coefficient  .
    9. On donne :  ;  ;  .
      Calculer les valeurs numériques de   et du produit  .
    10. On recherche des solutions du système des équations I et II sous la forme   et    est une pulsation a priori inconnue,   et   étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de   et   sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre   et  ).
    11. Montrer que :
       
      constituent une solution du système des équations I et II, vérifiant les conditions initiales  ,  ,  ,  .
Schéma no4