Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II

Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétique

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.

On rappelle les expressions de la divergence et du rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques

$\mathbf {div} (\mathbf {A} )={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

$\mathbf {rot} (\mathbf {A} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{r}+\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial r}}\right)\mathbf {e_{\theta }} +{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)\mathbf {e} _{z}$

On rappelle que $\mathbf {rot} (\mathbf {rot} (\mathbf {A} ))=\mathbf {grad} (\mathrm {div} (\mathbf {A} ))-\mathbf {\Delta } (\mathbf {A} )$ et la valeur de la perméabilité magnétique du vide :

$\mu _{0}=4\pi 10^{-1}{\rm {H\cdot m^{-1}}}$.

On utilisera les coordonnées cylindriques $\left(r,\theta ,z\right)$ et la base locale associée $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{z}\right)$.

Dans tout le problème, on se place dans l'approximation des régimes quasi permanents.

Les trois parties sont indépendantes.

PARTIE I

On considère deux solénoïdes $\Sigma _{1}$ et $\Sigma _{2}$ coaxiaux, d'axe $Oz$, de même longueur $L=20{\rm {cm}}$, de rayons $r_{1}=10{\rm {cm}}$ et $r_{2}=20{\rm {cm}}$ et comportant respectivement $N_{1}=700$ et $N_{2}=500$ spires jointives, enroulées dans le même sens (voir Figure 1). Dans toute la suite on négligera les effets de bord; on considèrera donc les solénoïdes comme très longs. Ces deux bobines ont pour résistance respectivement $R_{1}$ et $R_{2}=50{\rm {\Omega }}$. On pourra introduire les nombres de spires par unité de longueur $n_{i}=\left({\frac {N_{i}}{L}}\right)$.

Figure 1. Vue en coupe longitudinale

1. Le solénoïde $\Sigma _{1}$, est parcouru par un courant d'intensité $i$, $\Sigma _{2}$, étant en circuit ouvert.
   1. Exprimer le champ magnétique $\mathbf {B_{1}}$, créé dans tout l'espace.
   2. En déduire que le coefficient d'inductance $L_{1}$, de $\Sigma _{1}$, vaut $\mu _{0}\left({\frac {N_{1}^{2}}{L}}\right)\pi r_{1}^{2}$; donner l’expression de $L_{2}$, l'inductance de $\Sigma _{2}$, et calculer sa valeur numérique.
   3. Définir le coefficient de mutuelle inductance $M$ entre les deux solénoïdes. Montrer que $M=\mu _{0}\left({\frac {N_{1}N_{2}}{L}}\right)\pi r_{2}^{2}$.
2. Le solénoïde $\Sigma _{1}$, est alimenté par un générateur idéal de courant électromoteur $i_{0}(t)=I_{0}\cos(\omega t)$ avec $I_{0}=1{\rm {A}}$; les deux extrémités du solénoïde $\Sigma _{2}$, sont reliées par un fil sans résistance.
   1. Déterminer l'amplitude complexe du courant $i_{2}(t)$ circulant dans $\Sigma _{2}$, en fonction de $M$, $L_{2}$ et $R_{2}$. La mettre sous la forme ${\underline {i_{2}}}={\cfrac {Kj{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}{\underline {i_{0}}}}{1+j{\cfrac {\omega }{\omega _{c}}}}}$. On donnera l’expression de $K$ en fonction de $N_{1}$ et $N_{2}$ et celle de $\omega _{c}$ en fonction de $R_{2}$ et $L_{2}$.
   2. En déduire l’expression de l'amplitude complexe ${\underline {N_{2}}}$, du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde $\Sigma _{2}$.
      Montrer que ce champ tend vers 0 à haute fréquence. Commenter ce résultat.
   3. Application numérique; calculer $\omega _{c}$ ainsi que les amplitudes de $i_{2}(t)$ et de $\mathbf {B_{2}}$, pour une fréquence de $11{\rm {kHz}}$. Calculer le rapport des amplitudes $\left({\frac {B_{2}}{B_{1}}}\right)$.

PARTIE II

Le solénoïde $\Sigma _{2}$, est remplacé par un cylindre conducteur de rayon intérieur $r_{2}=5{\rm {cm}}$, d'épaisseur $h=50{\rm {m}}$, de longueur $L$ et de conductivité $\gamma =4\cdot 10^{7}{\rm {S\cdot m^{-1}}}$. On néglige à nouveau les effets de bord. Dans un premier temps, on assimile le cylindre à une surface.

Le solénoïde $\Sigma _{1}$, est traversé par un courant $i_{0}(t)=I_{0}\cos(\omega t)$.

1. Justifier rapidement que l’on puisse écrire $\mathbf {j_{S}} =\gamma h\mathbf {E}$ où $\mathbf {j_{S}}$ est la densité de courant surfacique sur le conducteur et $\mathbf {E}$ le champ électrique au même point. Justifier que $\mathbf {j_{S}}$ est orthoradial.
2. 1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace.
   2. Calculer le champ magnétique $\mathbf {B_{e}}$ dans l'espace $r_{2}<r<r_{1}$.
   3. Montrer que le champ magnétique $\mathbf {B_{i}}$ est uniforme dans l'espace $r<r_{2}$.
   4. Déterminer la direction du champ électrique $\mathbf {E}$ pour $r<r_{2}$; en déduire l’expression de l'amplitude complexe de ce champ au niveau du cylindre conducteur en fonction de ${\underline {B_{i}}}$, l'amplitude complexe de $\mathbf {B_{i}}$.
   5. En déduire la relation ${\underline {B_{i}}}={\frac {\underline {B_{e}}}{1+j\omega \tau }}$ où ${\underline {B_{e}}}$ désigne l'amplitude complexe de $\mathbf {B_{e}}$; on exprimera $\tau$ en fonction de $h$, $r_{2}$, $\gamma$ et $\mu _{0}$.
   6. Application numérique. $I_{0}=1{\rm {A}}$, la fréquence est de $11{\rm {kHz}}$; calculer l'amplitude du champ $\mathbf {B_{e}}$, celle de $\mathbf {B_{i}}$ ainsi que l'amplitude de l'intensité qui traverse le conducteur.
      À quel phénomène l'écrantage du champ magnétique est-il dû ?
3. Estimation de la pulsation de coupure
   Dans ce paragraphe, le conducteur cylindrique, qui n'est plus assimilé à une surface, est seul dans l'espace.
   On cherche à caractériser le cylindre par son inductance $L_{2}$, et par sa résistance $R_{2}$.
   1. On suppose le cylindre parcouru par une densité volumique uniforme de courant orthoradiale $\mathbf {j} =j\mathbf {e_{\theta }}$; déterminer le champ magnétique dans tout l'espace.
   2. Déterminer l'intensité du courant $I$ qui traverse une section droite du conducteur de longueur $L$ et de hauteur $h$.
   3. Calculer l'énergie magnétique dans tout l'espace en négligeant la contribution du volume du cylindre $r_{2}<r<r_{2}+h$. En déduire l’expression de l'inductance $L_{2}$.
   4. Pour calculer la résistance $R_{2}$, on fend le cylindre selon une génératrice et on soumet les deux bords obtenus à une différence de potentiel $U$ (voir Figure 2).

      Fichier:Concours communs polytechniques - MP 2009 - Physique II - schéma 2.svg

      Figure 2. Cylindre vu de face

      On suppose que les courants se répartissent uniformément dans le volume.
      Relier la densité de courant au champ électrique, puis à la différence de potentiel; en déduire la résistance.

   5. Construire un temps caractéristique; à quelle grandeur peut-on le comparer ?

PARTIE III. Champ magnétique dans un conducteur

1. Équation générale
   On considère un conducteur de conductivité $\gamma$, dans lequel existe un champ magnétique.
   Montrer que le champ vérifie l'équation différentielle $\Delta \mathbf {B} =\mu _{0}\gamma {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$.
2. On cherche une solution harmonique de la forme complexe ${\underline {\mathbf {B} }}(M,t)={\underline {B}}(x)\exp(i\omega t)\mathbf {e} _{z}$.
   Déterminer la solution générale ${\underline {B}}(x)$; on posera ${\underline {k}}={\frac {1+i}{\delta }}$ avec $\delta ={\sqrt {\frac {2}{\mu _{0}\gamma \omega }}}$.
3. Calculer numériquement $\delta$ avec $\gamma =4\cdot 10^{7}{\rm {S\cdot m^{-1}}}$, $f=11{\rm {kHz}}$.
   Peut-on justifier l'approximation, que les champs sont uniformes dans le cylindre, étudiée en II.3 ?