Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II

Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétiqueModifier

Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras.


On rappelle les expressions de la divergence et du rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques

 
 

On rappelle que   et la valeur de la perméabilité magnétique du vide :

 .


On utilisera les coordonnées cylindriques   et la base locale associée  .


Dans tout le problème, on se place dans l'approximation des régimes quasi permanents.

Les trois parties sont indépendantes.

PARTIE IModifier

On considère deux solénoïdes   et   coaxiaux, d'axe  , de même longueur  , de rayons   et   et comportant respectivement   et   spires jointives, enroulées dans le même sens (voir Figure 1). Dans toute la suite on négligera les effets de bord; on considèrera donc les solénoïdes comme très longs. Ces deux bobines ont pour résistance respectivement   et  . On pourra introduire les nombres de spires par unité de longueur  .

Figure 1. Vue en coupe longitudinale
  1. Le solénoïde  , est parcouru par un courant d'intensité  ,  , étant en circuit ouvert.
    1. Exprimer le champ magnétique  , créé dans tout l'espace.
    2. En déduire que le coefficient d'inductance  , de  , vaut  ; donner l’expression de  , l'inductance de  , et calculer sa valeur numérique.
    3. Définir le coefficient de mutuelle inductance   entre les deux solénoïdes. Montrer que  .
  2. Le solénoïde  , est alimenté par un générateur idéal de courant électromoteur   avec  ; les deux extrémités du solénoïde  , sont reliées par un fil sans résistance.
    1. Déterminer l'amplitude complexe du courant   circulant dans  , en fonction de  ,   et  . La mettre sous la forme  . On donnera l’expression de   en fonction de   et   et celle de   en fonction de   et  .
    2. En déduire l’expression de l'amplitude complexe  , du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde  .
      Montrer que ce champ tend vers 0 à haute fréquence. Commenter ce résultat.
    3. Application numérique; calculer   ainsi que les amplitudes de   et de  , pour une fréquence de  . Calculer le rapport des amplitudes  .

PARTIE IIModifier

Le solénoïde  , est remplacé par un cylindre conducteur de rayon intérieur  , d'épaisseur  , de longueur   et de conductivité  . On néglige à nouveau les effets de bord. Dans un premier temps, on assimile le cylindre à une surface.

Le solénoïde  , est traversé par un courant  .

  1. Justifier rapidement que l’on puisse écrire    est la densité de courant surfacique sur le conducteur et   le champ électrique au même point. Justifier que   est orthoradial.
    1. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace.
    2. Calculer le champ magnétique   dans l'espace  .
    3. Montrer que le champ magnétique   est uniforme dans l'espace  .
    4. Déterminer la direction du champ électrique   pour  ; en déduire l’expression de l'amplitude complexe de ce champ au niveau du cylindre conducteur en fonction de  , l'amplitude complexe de  .
    5. En déduire la relation    désigne l'amplitude complexe de  ; on exprimera   en fonction de  ,  ,   et  .
    6. Application numérique.  , la fréquence est de  ; calculer l'amplitude du champ  , celle de   ainsi que l'amplitude de l'intensité qui traverse le conducteur.
      À quel phénomène l'écrantage du champ magnétique est-il dû ?
  2. Estimation de la pulsation de coupure
    Dans ce paragraphe, le conducteur cylindrique, qui n'est plus assimilé à une surface, est seul dans l'espace.
    On cherche à caractériser le cylindre par son inductance  , et par sa résistance  .
    1. On suppose le cylindre parcouru par une densité volumique uniforme de courant orthoradiale  ; déterminer le champ magnétique dans tout l'espace.
    2. Déterminer l'intensité du courant   qui traverse une section droite du conducteur de longueur   et de hauteur  .
    3. Calculer l'énergie magnétique dans tout l'espace en négligeant la contribution du volume du cylindre  . En déduire l’expression de l'inductance  .
    4. Pour calculer la résistance  , on fend le cylindre selon une génératrice et on soumet les deux bords obtenus à une différence de potentiel   (voir Figure 2).
      Figure 2. Cylindre vu de face

      On suppose que les courants se répartissent uniformément dans le volume.
      Relier la densité de courant au champ électrique, puis à la différence de potentiel; en déduire la résistance.

    5. Construire un temps caractéristique; à quelle grandeur peut-on le comparer ?

PARTIE III. Champ magnétique dans un conducteurModifier

  1. Équation générale
    On considère un conducteur de conductivité  , dans lequel existe un champ magnétique.
    Montrer que le champ vérifie l'équation différentielle  .
  2. On cherche une solution harmonique de la forme complexe  .
    Déterminer la solution générale  ; on posera   avec  .
  3. Calculer numériquement   avec  ,  .
    Peut-on justifier l'approximation, que les champs sont uniformes dans le cylindre, étudiée en II.3 ?