Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II - Correction

Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME - Écrantage d'un champ magnétiqueModifier

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestreModifier

    1. Le champ magnétique créé par une spire parcourue par un courant  , en un point   de son axe de symétrie, depuis lequel la spire est vue sous un angle   est donné par :

       

      Une section de hauteur   du solénoïde  , vue depuis   sous un angle  , crée en   un champ magnétique :

       

      Comme   on a :

       

      donc

       

      On obtient alors l’expression du champ magnétique élémentaire créé en   :

       

      Le solénoïde étant supposé très long (infini), on obtient le champ magnétique en un point de l'axe par intégration :

       

       

      Ce champ est constant sur l'axe.
      La distribution de courant étant invariante par rotation d'axe   et par translation d'axe   en coordonnées cylindriques, le champ magnétique ne dépend que de  .
      La distribution de courant étant anti-symétrique par rapport à tout plan contenant l'axe  , le champ magnétique est dirigé selon   en tout point de l'espace, donc   est de la forme :

       

      On applique le théorème d'Ampère au contour   représenté ci-contre :

       

        étant orthogonal à   sur deux des côtés de  , on a :

       

      •  
      • si   :  
      • si   :  

      On obtient donc le champ magnétique :

       

    2. Le coefficient d'inductance   se calcule en ajoutant le flux magnétique traversant chacune des sprires du solénoïde   :
       
      On a alors le coefficient d'inductance

       

      De même

       

      Application numérique :

       

    3. Soit   le flux de   au travers du solénoïde  . Le coefficient de mutuelle inductance   est défini par :

       

       

      donc

       

    1. En notant   le flux total traversant le solénoïde  , on a d’après la loi de Faraday   et d’après la loi d'Ohm  . Donc

       

      Or  , d'où l'équation différentielle

       

      En régime permanent on a  . Avec la notation complexe l'equation précédente devient :

       

      d'où

       

      On obtient le résultat :

        avec   et  

      Or   et   donc

       

    2. Le champ   à l'intérieur de solénoïde   s'obtient par superposition des champs créés par   et  , soit d’après la question 1.a :
       
      Soit en notation complexe, et d’après la question précédente :
       
      En tenant compte de   on obtient l'amplitude complexe   du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde   :
       

       

      D'où la norme   de ce champ magnétique :

       

      laquelle tend vers 0 lorsque ω tend vers l'infini.

      A haute fréquence le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde   tend vers 0.