Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I - Correction

MECANIQUEModifier

Partie 1 - Oscillations dans le champ de pesanteur terrestreModifier

    1. À partir de  , avec   et  , on obtient :
       
       
      Donc :

       

    2. L'énergie cinétique est donnée par :
       
      où :
      •  
      •  
      donc
       

       

      L'énergie potentielle est donnée par :

       

       

    3. La seule force à laquelle est soumise la barre est la force de pesanteur, conservative, donc il y a conservation de l'énergie mécanique.
       
      En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps, on obtient :
       
      En simplifiant par  , on obtient :
       
      D'où l'équation différentielle :

       

    4. Pour de petits mouvements, on effectue un développement au premier ordre de  ,  , d'où l'équation différentielle :
       
      En notant  , les solutions de cette équation sont :
       
        et   sont des constantes déterminées par les conditions initiales :
      •  , donc  
      •  , donc  
      donc   et   d'où la solution de l'équation différentielle :

       

      A.N. : Avec   on a

       

Partie 2 - Oscillateur harmoniqueModifier

    1. Le ressort exerce sur la plateforme une force
       
      L'énergie potentielle emmagasinée par le ressort est définie par :
       
      Avec   on obtient :
       
      Puis par intégration en prenant la convention   :

       

    2. L'énergie cinétique est donnée par :
       
      En l'absence de frottement (liaison supposée parfaite), les forces exercées sur la plateforme soit ne travaille pas (poids, réaction des guides), soit dérivent d'une énergie potentielle (force de rappel du ressort). Il y a donc conservation de l'énergie mécanique.
       

       

      Puis par dérivation :

       

      D'où l'équation différentielle pour la variable  

       

    3. Avec  , les solutions de cette équation différentielle sont :
       
        et   sont des constantes dépendant des conditions initiales.
      •  , donc  
      •  , donc  
      On obtient   et  , d'où l’expression de   en fonction du temps :

       

Partie 3 - Oscillations coupléesModifier

    1. L'accélération de   est donnée par :

       

      Avec   on a :

       

      puis

       

       

      Le référentiel lié à la plateforme étant en translation par rapport au référentiel du laboratoire, la loi de composition des mouvements donne :

       
       

      Avec   et  , on obtient :

       

    2. En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la tige, dans le référentiel du laboratoire, on a :
       
      En projection sur les axes   et  , on obtient :

       

    3.   est le moment cinétique barycentrique donc :

       

    4. En dérivant l’expression précédente :

       

      D'après le théorème du moment cinétique barycentrique :

       

      •  
         
         
      •  

      On obtient :

       

    5. La relation précédente avec les expressions de   et   déterminées en 3.2 donne :
       
       
      Dans la partie 1,   est choisit tel que  , d'où l'équation différentielle :

       

    6. Dans l'hypothèse des petits mouvements   et   d'où :
       

        avec   et  

      Application numérique : Avec la valeur de   de la partie 1, on a  .

    7. La plateforme est soumise
      • à son poids  
      • à la force de rappel élastique  
      • à la réaction d'axe s'exerçant sur la plateforme  
      Le théorème de la résultante cinétique appliqué à la plateforme dans le référentiel galiléen du laboratoire donne :
       
      En projection sur l'axe  , on obtient :
       
      Et d’après l’expression de   obtenue en 3.2 :
       
      En constatant que  , on obtient :

       

    8. Dans l'hypothèse des petits mouvements   et
       
      On obtient l'équation différentielle :

        avec   et  

    9.  , on obtient

       

        et   sont des coefficients sans dimension et   donc

       

    10. On cherche des solutions du système
       
      sous la forme   et  , on a nécessairement :
       
       
      donc nécessairement
       
       
      avec les valeurs   (question 3.9),   et   (correspondant aux applications numériques des questions 3.6 et 3.9) on obtient l'équation :
       
      dont les solutions sont

        et  

    11. Le système des équations I et II étant linéaire, les expressions de   et   proposées sont bien solutions, et ces solutions vérifient :
      •  
      •  
      De plus avec
       
      On vérifie bien
        et