Utilisateur:Xzapro4/Automatique

${\begin{array}{ccc}&{\underset {\scriptstyle {1/2}}{\nearrow }}&{\rm {Je~reste}}\\{\rm {Accident}}&{\underset {\scriptstyle {1/3}}{\rightarrow }}&{\rm {Je~me~barre}}\\&{\underset {\scriptstyle {1/6}}{\searrow }}&{\rm {Je~me~suicide}}\\\end{array}}$

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Modèle:Imagedual

Équation d'état

• Choix d'un vecteur d'état x
• Vecteur des entrées u

Équation d'état

• Équation dynamique : ${\dot {x}}=f(x,u)$
• Équation de sortie : $y=y(x,u)$

Dans le cas d'un système linéaire ${\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+Bu\\y=Cx+Du\end{cases}}$

• x vecteur d'état, dimension n
• A, matrice qui caractérise la dynamique du système (matrice carrée de taille n)
• B, Action des entrées sur l'état du système
• C, matrice de sortie (de taille lxn si l sorties)
• D, transferts directs entrées/sorties (lxm)

En général, D=0

Application à une équation différentielle d'ordre 2 ${\ddot {y}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {y}}+\omega _{0}^{2}y=u$

Choix du vecteur d'état : $x=\left({\begin{array}{c}y\\{\dot {y}}\end{array}}\right)$

Transcription des équations différentielles

${\begin{aligned}{\dot {x}}&={\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\u-2\zeta \omega _{0}{\dot {y}}-\omega _{0}^{2}y\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-\omega _{0}^{2}&-2\zeta \omega _{0}\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}u\\\end{aligned}}$

${\dot {y}}={\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}x$

Exercice 1

Soit le système défini par les équations suivantes : ${\begin{cases}\tau {\dot {y}}+y=ku\\y(0)\end{cases}}$

1. Réponse temporelle à un échelon $u_{0}\Gamma (t)$
2. Réponse temporelle à une rampe $\alpha t$

On passe dans l'espace de Laplace :

${\mathcal {L}}(\tau {\dot {y}}+y)={\mathcal {L}}(ku)$

$\tau (sY(s)-Y(0^{-}))+Y(s)=kU(s)$

${\begin{aligned}Y(s)&={\frac {kU(s)+\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}\\&={\frac {k}{1+\tau s}}U(s)+{\frac {\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}\end{aligned}}$

---

$u(t)=u_{0}\Gamma (t)\Rightarrow U(s)={\frac {u_{0}}{s}}$

La réponse à cette entrée est donc, dans le domaine fréquentiel, $Y(s)={\frac {ku_{0}}{s(1+\tau s)}}+{\frac {\tau y(0^{-})}{1+\tau s}}$

Dans le domaine temporel, cela donne

$y(t)=u_{0}k\left(1-e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }$

---

$u(t)=\alpha t\Rightarrow U(s)={\frac {u_{0}}{s^{2}}}$

La réponse à cette entrée est donc, dans le domaine fréquentiel, $Y(s)={\frac {k\alpha }{s^{2}(1+\tau s)}}+{\frac {y(0^{-})}{s+{\frac {1}{\tau }}}}$

Dans le domaine temporel, cela donne

$y(t)=k\alpha \left(t-\tau +\tau e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }$

Tangente à l'origine : $y'(0)=-{\frac {1}{\tau }}y(0^{-})$

Exercice 2

Soit le système défini par les équations suivantes : ${\begin{cases}\tau {\dot {y}}+y=k_{1}u+k_{2}{\dot {u}}\\y(0)\end{cases}}$

1. Réponse temporelle à un échelon $u_{0}\Gamma (t)$

On passe dans l'espace de Laplace :

$\tau (sY(s)-y(0^{-}))+Y(s)=k_{1}U(s)+k_{2}(sU(s)-U(0^{-})$

$U(s)={\frac {u_{0}}{s}}$

$\tau sY(s)-\tau y(0^{-})+Y(s)={\frac {k_{1}u_{0}}{s}}+k_{2}u_{0}$

$Y(s)=\left({\frac {k_{1}u_{0}}{s}}+k_{2}u_{0}+\tau y(0^{-})\right){\frac {1}{1+\tau s}}$

Dans le domaine temporel :

$y(t)=k_{1}u_{0}\left(1-e^{-t/\tau }\right)+y(0^{-})e^{-t/\tau }+{\frac {k_{2}u_{0}}{\tau }}e^{-t/\tau }+y(0^{-})$

Le terme ${\frac {k_{2}u_{0}}{\tau }}e^{-t/\tau }$ correspond physiquement à un saut de condition initiale. Ce saut violent est capable de casser un moteur, faire bouger très brusquement un bras robotisé... La prudence est donc de mise !