Calcul avec Arctan
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En utilisant la fonction A r c t a n {\displaystyle Arctan} de la calculatrice, donner un argument des nombres complexes suivants. Penser à décider entre θ {\displaystyle \theta } et θ + π {\displaystyle \theta +\pi } grâce au signe de la partie réelle.
a) z = 1 + i {\displaystyle z=1+i}
b) z = − 5 i {\displaystyle z=-5i}
Solution
z = − 5 i {\displaystyle z=-5i}
a = 0 et b < 0 donc θ = − π 2 {\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}} .
c) z = − 1 − i {\displaystyle z=-1-i}
d) z = 1 − i 3 {\displaystyle z=1-i{\sqrt {3}}}
e) z = − 3 + i {\displaystyle z=-{\sqrt {3}}+i}
f) z = cos ( π 4 ) − i . sin ( π 4 ) {\displaystyle z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)}
Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique
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Soit z {\displaystyle z} un nombre complexe de module r {\displaystyle r} et d'argument θ {\displaystyle \theta } .
Écrire z {\displaystyle z} sous forme algébrique a + b i {\displaystyle a+bi} dans les cas suivants.
r 1 = 3 {\displaystyle r_{1}=3} et θ 1 = π 6 {\displaystyle \theta _{1}={\frac {\pi }{6}}}
Solution
z 1 = r 1 ( c o s θ 1 + i s i n θ 1 ) = 3 × ( 3 2 + 1 2 i ) = 3 3 2 + 3 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=r_{1}(cos\theta _{1}+isin\theta _{1})\\&=3\times ({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i)\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {3}{2}}i\end{aligned}}}
r 2 = 2 {\displaystyle r_{2}=2} et θ 2 = 3 π 4 {\displaystyle \theta _{2}={\frac {3\pi }{4}}}
Solution
z 2 = r 2 ( c o s θ 2 + i s i n θ 2 ) = 2 × ( − 2 2 + i 2 2 ) = − 2 + i 2 {\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}&=r_{2}(cos\theta _{2}+isin\theta _{2})\\&=2\times (-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}})\\&=-{\sqrt {2}}+i{\sqrt {2}}\end{aligned}}}
r 3 = 2 {\displaystyle r_{3}=2} et θ 3 = − π 3 {\displaystyle \theta _{3}={\frac {-\pi }{3}}}
Solution
z 3 = r 3 ( c o s θ 3 + i s i n θ 3 ) = 2 × ( 1 2 − i 3 2 ) = 1 − i 3 {\displaystyle {\begin{aligned}z_{3}&=r_{3}(cos\theta _{3}+isin\theta _{3})\\&=2\times ({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}})\\&=1-i{\sqrt {3}}\end{aligned}}}
r 4 = 2 , 5 {\displaystyle r_{4}=2,5} et θ 4 = − 5 π 6 {\displaystyle \theta _{4}={\frac {-5\pi }{6}}}
Solution
z 4 = r 4 ( c o s θ 4 + i s i n θ 4 ) = 5 2 × ( − 3 2 − i 1 2 ) = 5 3 4 − 5 4 i {\displaystyle {\begin{aligned}z_{4}&=r_{4}(cos\theta _{4}+isin\theta _{4})\\&={\frac {5}{2}}\times (-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-i{\frac {1}{2}})\\&={\frac {5{\sqrt {3}}}{4}}-{\frac {5}{4}}i\end{aligned}}}
On donne :
z A = − 4 − 4 i {\displaystyle z_{A}=-4-4i} et z B = − 3 + 2 i {\displaystyle z_{B}=-3+2i}
a) Placer les points A et B dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité 2 cm .
b) Calculer | z A | {\displaystyle \left|z_{A}\right|} et | z B | {\displaystyle \left|z_{B}\right|} .
Que représentent ces quantités géométriquement ?
Solution
| z A | = ( − 4 ) 2 + ( − 4 ) 2 = 16 + 16 = 32 = 4 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|z_{A}|&={\sqrt {(-4)^{2}+(-4)^{2}}}\\&={\sqrt {16+16}}\\&={\sqrt {32}}\\&=4{\sqrt {2}}\end{aligned}}}
| z B | = ( − 3 ) 2 + 2 2 = 9 + 4 = 13 {\displaystyle {\begin{aligned}|z_{B}|&={\sqrt {(-3)^{2}+2^{2}}}\\&={\sqrt {9+4}}\\&={\sqrt {13}}\end{aligned}}}
Ces résultats représentent les distances qui séparent le point d'origine aux points A et B.
c) Calculer | z A − z B | {\displaystyle \left|z_{A}-z_{B}\right|}
Interpréter géométriquement ce résultat.
Solution
| z A − z B | = ( − 4 − ( − 3 ) ) 2 + ( − 4 − 2 ) 2 = 1 + 36 = 37 {\displaystyle {\begin{aligned}|z_{A}-z_{B}|&={\sqrt {(-4-(-3))^{2}+(-4-2)^{2}}}\\&={\sqrt {1+36}}\\&={\sqrt {37}}\end{aligned}}}
Ce résultat représente la distance entre les points A et B.
d) Le triangle OAB est-il rectangle ? Justifier.
On donne Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle z_A = -1-i\sqrt{3}}
.
1) On pose z B = 2 i × z A {\displaystyle z_{B}=2i\times z_{A}} , démontrer que z B = 2 3 − 2 i {\displaystyle z_{B}=2{\sqrt {3}}-2i} .
Solution
z B = 2 i × z A = − 2 i + 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}z_{B}&=2i\times z_{A}\\&=-2i+2{\sqrt {3}}\end{aligned}}}
2) a) Calculer un argument de chacun des nombres complexes z A {\displaystyle z_{A}} et z B {\displaystyle z_{B}} (on demande des valeurs exactes).
Solution
z A = − 1 − i 3 {\displaystyle z_{A}=-1-i{\sqrt {3}}}
cos ( θ ) = − 1 | z A | = − 1 2 {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-1}{|z_{A}|}}={\frac {-1}{2}}} .
Donc θ = 2 π 3 ~ou~ θ = − 2 π 3 {\displaystyle \theta ={\frac {2\pi }{3}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {2\pi }{3}}} .
Comme b < 0 , on a a r g ( z A ) = − 2 π 3 {\displaystyle arg(z_{A})=-{\frac {2\pi }{3}}}
z B = 2 3 − 2 i {\displaystyle z_{B}=2{\sqrt {3}}-2i}
cos ( θ ) = 2 3 | z B | = 3 2 {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {2{\sqrt {3}}}{|z_{B}|}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} .
Donc θ = π 6 ~ou~ θ = − π 6 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{6}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{6}}} .
Comme b < 0 , on a a r g ( z B ) = − π 6 {\displaystyle arg(z_{B})=-{\frac {\pi }{6}}}
b) Placer dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité 2 cm les points A et B .
3) Démontrer que le triangle OAB est rectangle en O .
Solution
On calcule l'angle ( O B → , O A → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})} .
( O B → , O A → ) = a r g ( z A ) − a r g ( z B ) = − π 2 {\displaystyle ({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})=arg(z_{A})-arg(z_{B})=-{\frac {\pi }{2}}}
Donc le triangle OAB est rectangle en O.