Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Comparaison des modèles
modifier- Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d’avoir un nombre donné k de succès sur un certain n nombre d'essais indépendants.
- Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d’avoir k succès (attention, ceci est juste une façon de parler, les succès peuvent être ... des pannes !) sur une période T avec un taux de succès .
- On peut donc imaginer qu'en "découpant" la période T en n petits intervalles de temps, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson, à condition que n soit grand.
Approximation poissonnienne, version simplifiée
modifierPour n "assez grand" ( ) et pour p voisin de 0 ( ) tels que ,
on peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson , où .
- On a alors :
Exemple
modifierDans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.
- X suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres :
Les paramètres se déduisent de la définition du problème :
- Calculons p(x=5).
Selon la définition de la loi de probabilité binomiale on a :
dans notre cas on a cherché la probabilité , il suffit de remplacer les variables par leur valeur :
numériquement la probabilité est
- Montrer qu'une approximation poissonnienne convient.
n = 120 suffisamment grand (>30) et p = 0,05 voisin de 0 (<0,1) tels que n*p*(1-p) = 120*0,05*0,95 = 5,7 < 10
- Calculer p(X=5) avec cette approximation.
Notre approximation poissonienne est :
avec
On cherche l'approximation de la probabilité suivant la loi :
- Comparer les résultats.
Il est clair que les probabilités sont très semblables :
L'erreur commise en réalisant cette approximation est
soit