Variables aléatoires discrètes/Exercices/Exemple de variable aléatoire suivant une loi de Poisson

Pannes

On a effectué une étude sur une voiture de marque A.

L'étude révèle que le nombre de pannes pendant une durée d'un an suit une loi de Poisson de paramètre 3.

On note X la variable aléatoire donnant le nombre de pannes en un an.

1. Donner l'espérance de X. Combien de pannes obtiendra-t-on en moyenne par an ?
2. Donner le début de la loi de probabilité de X, jusqu'à 5 pannes.
3. Quelle est la probabilité d’avoir au plus 5 pannes en un an ?

Solution

1. L'espérance d'une variable suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ vaut $\lambda$, donc $\mathbb {E} (X)=3$. C'est le nombre moyen de pannes par an.
2. • $\mathbb {P} (X=0)={\rm {e^{-3}\times {\frac {3^{0}}{0!}}\approx 0{,}05}}$
   • $\mathbb {P} (X=1)={\rm {e^{-3}{\frac {3^{1}}{1!}}\approx 0{,}15}}$
   • $\mathbb {P} (X=2)\approx 0{,}224$
   • $\mathbb {P} (X=3)\approx 0{,}224$
   • $\mathbb {P} (X=4)\approx 0{,}168$
   • $\mathbb {P} (X=5)\approx 0{,}1$.
3. $\mathbb {P} (X\leq 5)=\sum _{k=0}^{5}\mathbb {P} (X=k)\approx 0{,}916$.

 

Pannes (encore)

On a effectué une étude sur une voiture de marque B. L'étude révèle que le nombre de pannes pendant une durée d'un an suit une loi de Poisson. On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de pannes en un an.

Sachant que la probabilité de ne pas tomber en panne dans l'année est de 0,3, donner le nombre de pannes moyen sur une durée d'une année.

Solution

$\mathbb {P} (Y=0)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{0}}{0!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }=0{,}3$.

On trouve alors que :

$\lambda =-\ln(0{,}3)\simeq 1{,}2$.

Il vient ainsi que le nombre de pannes moyen vaut :

$\mathbb {E} (Y)=\lambda \simeq 1{,}2.$

 

Mutations

L'expérience de Luria et Delbrück (1943) a démontré que l'apparition de mutants dans une culture bactérienne est un phénomène aléatoire ; les mutations sont spontanées et ne sont pas induites par le milieu.

On met en culture des bactéries Escherichia coli dans un milieu contenant un antibiotique (streptomycine) et on laisse se développer les colonies. On s'intéresse alors aux bactéries qui présentent une mutation de résistance à l'antibiotique (mutant SmR). On note X la variable aléatoire qui représente le nombre de bactéries mutantes dans une colonie. On modélise les fluctuations de X par une loi de Poisson P(λ) dont on va chercher à déterminer le paramètre λ > 0.

Expérimentalement, on a obtenu 166 colonies parmi lesquelles 15 ne possèdent aucune bactérie mutante.

1. Déterminez le réel λ.
2. Donnez le nombre moyen de bactéries mutantes par colonie. Donnez également l'écart-type.
3. Si Z est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson P(μ) de paramètre μ > 0, montrez que p(Z = k + 1) = μ/k + 1 p(Z = k).
4. En utilisant la question précédente, calculez (rapidement) les p(X = k) pour k ∈ {0, … , 9}.

Solution

1. 15/166 = p(X = 0) = e^−λ donc λ = −ln(15/166) ≈ 2,404.
2. E(X) = λ ≈ 2,404 et σ(X) = ${\sqrt {\lambda }}$ ≈ 1,55.
3. p(Z = k + 1) = μ^k+1/(k+1)! e^−μ = μ/k+1 μ^k/k! e^−μ = μ/k + 1 p(Z = k).
4. p(X = 0) ≈ 0,0904, p(X = 1) ≈ 0,2173, p(X = 2) ≈ 0,2612, p(X = 3) ≈ 0,2093, p(X = 4) ≈ 0,1258,
   p(X = 5) ≈ 0,0605, p(X = 6) ≈ 0,0242, p(X = 7) ≈ 0,0083, p(X = 8) ≈ 0,0025 et p(X = 9) ≈ 0,0007.