Limites d'une fonction/Exemple corrigé

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Début de l'exemple

Exemple

Soit $f:x\mapsto {\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Quelles sont les limites de f aux bords de son domaine de définition ?

Fin de l'exemple

Question 1 : Domaine de définition de f

Soit $x\in \mathbb {R}$

$-3x^{2}+5x+2=0\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{3}}{\mbox{ ou }}x=2$

Le domaine de définition de f est ${\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {R} -\left\{-{\frac {1}{3}};2\right\}$

Question 2 : Étude des limites de f aux bords de son domaine de définition

Nous allons étudier la limite de f aux infinis, en $-{\frac {1}{3}}$ et en 2.

Étude en +∞ et en -∞

Soit $x\in {\mathcal {D}}_{f}$ On met en facteur les termes de plus haut degré : ${\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}={\frac {x^{2}\left(1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}{x^{2}\left(-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\right)}}={\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}$

$\lim _{x\to +\infty }-{\frac {3}{x}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1-0+0=1$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {5}{x}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {2}{x^{2}}}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3+0+0=-3$

Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}{-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}}}=-{\frac {1}{3}}$, c'est-à-dire

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}=-{\frac {1}{3}}$

De même, $\lim _{x\to -\infty }1-{\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=1$ et $\lim _{x\to -\infty }-3+{\frac {5}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}=-3$

Donc $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-3x+2}{-3x^{2}+5x+2}}=-{\frac {1}{3}}$

Étude en 1/3

On pose les deux fonctions suivantes sur ${\mathcal {D}}_{f}$:

• $N:x\mapsto x^{2}-3x+2$
• $D:x\mapsto -3x^{2}+5x+2$

On a ainsi pour tout $x\in {\mathcal {D}}_{f},~f(x)={\frac {N(x)}{D(x)}}$

• $\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}N(x)=N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}$
• $\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}}D(x)=D\left(-{\frac {1}{3}}\right)=0$

On a devant nous une limite de la forme ${\frac {l\not =0}{0}}$. Il faut donc connaître le signe de f pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de N et D aux alentours de ${\frac {1}{3}}$.

• $N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}$ donc N est positive au voisinage de $x=-{\frac {1}{3}}$
• La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&2&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}$

Nous pouvons à présent dire que :

• pour $x<-{\frac {1}{3}}$

$D(x)<0$ et $N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0$

Ainsi $\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{-}}f(x)=-\infty$

• pour $x\in \left]-{\frac {1}{3}};2\right[$

$D(x)>0$ et $N\left(-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {28}{9}}>0$

Ainsi, $\lim _{x\to -{\frac {1}{3}}^{+}}f(x)={+\infty }$

Étude en 2

• $\lim _{x\to 2}N(x)=N(2)=0$
• $\lim _{x\to 2}D(x)=D(2)=0$

Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « ${\frac {0}{0}}$ ».

Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme $N(2)=0$ et $D(2)=0$ et que N et D sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par x-2.

Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.

• Utilisation des relations coefficients-racines (voir le cours sur les équations du second degré)

On sait qu'une racine de N est 2 et que le produit des racines vaut ${\frac {c}{a}}=2$.

On en déduit que pour tout $x\in {\mathcal {D}}_{f},N(x)=(x-1)(x-2)$

• Poser α la racine de N que l’on ne connaît pas et déduire α par identification de $x^{2}-3x+2$ et de $(x-2)(x-\alpha )=x^{2}-(\alpha +2)x+2\alpha$
• Trouver les racines par calcul du discriminant etc, ici DÉCONSEILLÉ car induit beaucoup de calcul pour retomber sur un résultat que l’on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c’est une perte de temps.

La question 1 nous apprend directement que pour tout $x\in {\mathcal {D}}_{f},~D(x)=-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)$

Finalement, soit $x\in {\mathcal {D}}_{f}$

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {N(x)}{D(x)}}\\&={\frac {(x-1)(x-2)}{-3(x-2)\left(x+{\frac {1}{3}}\right)}}\\&={\frac {x-1}{-3x-1}}\end{aligned}}$

On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu’à écrire la limite :

$\lim _{x\to 2}f(x)={\frac {2-1}{-3\times 2-1}}$

Finalement :$\lim _{x\to 2}f(x)=-{\frac {1}{7}}$