Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Retour sur la notion de "solution au mieux"

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Retour sur la notion de "solution au mieux"

Soit un système d'équations qui ne possède pas de solution exacte :

${\begin{cases}F_{1}(x)=k_{1}\\F_{2}(x)=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x)=k_{i}\\\vdots \\F_{n}(x)=k_{n}\\\end{cases}}$

Dont on veut trouver la solution au mieux $x_{am}$

Considérons les $F_{i}(x_{am})$ comme inconnues du système linéaire en $F_{i}(x_{am})$.

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\cdots &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{1}(x_{am})\\F_{2}(x_{am})\\\vdots \\F_{i}(x_{am})\\\vdots \\F_{n}(x_{am})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{i}\\\vdots \\k_{n}\end{pmatrix}}$

En multipliant les deux membres à gauche par la matrice vecteur unité : ${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1&\cdots &1\end{pmatrix}}$ et en développant :

$\Sigma F_{i}(x_{am})=\Sigma k_{i}$

Ou encore :

$\Sigma \left(F_{i}(x_{am})-k_{1}\right)=0$

Ce qui est trivial mais confirme que les solutions au mieux sont telles que la somme algébrique des écarts $F_{i}(x_{am})-k_{1}$ des $F_{i}(x_{am})$aux valeurs attendues $k_{1}$ est nulle .

On peut aussi chercher à trouver la solution au mieux du système plus général :

Ce sont des systèmes d'équations comportant plus d'équations que d'inconnues , de la forme :

${\begin{cases}F_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\F_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\F_{n+m}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+m}\\\end{cases}}$

Ce sont aussi des systèmes n'ayant pas de solution exacte, voire au plus près :

Ce sont des systèmes d'équations de la forme :

${\begin{cases}F_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\F_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\F_{n+0}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+0}\\\end{cases}}$

La même méthode sera employée. Ceci est une extension de cette page

Se référer pour les premiers exemples et analyses à cette page

Il peut exister des systèmes à "trous",c'est-à-dire avec des équations manquantes. Une étude particulière sera menée plus tard.