Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression

**Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression**
Leçon : Statique des fluides (PCSI)

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann
Chap. suiv. :	Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statique des fluides (PCSI) : Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression
Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'espace physique étant

\;{\big (}

sauf avis contraire

{\big )}\;

« orienté à droite »^[1].

Rappel de notion de vecteur surface élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées modifier

Voir le paragraphe « notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface » du chap.

17

de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Notion de vecteur surface élémentaire en un point générique (régulier) d'une surface modifier

Le « vecteur surface élémentaire^[2] en un point régulier $\;M\;$ de la surface $\;\left(S\right)\;$ »^[3] est le « vecteur $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;$ normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ », colinéaire au « vecteur unitaire $\;{\vec {n}}_{M}\;$ normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ » $\;{\big (}$ de sens a priori arbitraire ${\big )}\;$ tel que

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{M}\;

», «

\;dS_{M}\;

étant l'aire de la surface élémentaire centrée en

\;M\;

»

\;{\big [}

voir le paragraphe « propriété (du vecteur élément de surface) » du chap.

17

de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »

{\big ]}

.

Expression en paramétrage cartésien modifier

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est « plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le 3^ème vecteur de la base cartésienne orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite »^[4], le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;

avec

\;dS_{M}=dx\;dy\;

»^[5] car «

\;dM_{x}=dx\;

» et «

\;dM_{y}=dy\;

»^[6].

Expression en paramétrage cylindro-polaire modifier

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est « plane $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , orientée par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le 3^ème vecteur de la base cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big (}$ d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite »^[4], le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{z}\;

avec

\;dS_{M}=d\rho \;\rho \;d\theta \;

»^[5] car «

\;dM_{\rho }=d\rho \;

» et «

\;dM_{\theta }=\rho \;d\theta \;

»^[7].

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de surface latérale de tuyau cylindrique de révolution d'axe à $\;Oz$ , orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1^er vecteur de la base cylindro-polaire de pôle $\;O$ $\;{\big (}$ d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite »^[4], le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }\;

avec

\;dS_{M}=\rho \;d\theta \;dz\;

»^[5] car «

\;dM_{\theta }=\rho \;d\theta \;

» et «

\;dM_{z}=dz\;

»^[8].

Expression en paramétrage sphérique modifier

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de sphère de centre $\;O$ , orientée par $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le 1^er vecteur de la base sphérique de pôle $\;O\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite »^[4], le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}\;

avec

\;dS_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;

»^[5] car «

\;dM_{\theta }=r\;d\theta \;

» et «

\;dM_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;

»^[9].

Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est une « portion de cône de révolution de sommet $\;O$ , d'axe $\;Oz$ , orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2^ème vecteur de la base sphérique de pôle $\;O$ $\;{\big (}$ d'axe $\;Oz{\big )}\;$ liée à $\;M\;$ orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite »^[4], le vecteur élément de surface de la surface $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ s'écrit

«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {u}}_{\theta }\;

avec

\;dS_{M}=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;dr\;

»^[5] car «

\;dM_{r}=dr\;

» et «

\;dM_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;

»^[10].

Expression de la force pressante s'exerçant sur un élément de surface d'une paroi modifier

Si on considère un élément de paroi en un point $\;M$ , d’aire $\;dS_{M}$ , orienté du fluide vers la paroi limitant le fluide par le vecteur unitaire normal « $\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;$ », la force pressante exercée par le fluide sur l’élément de paroi en $\;M$ $\;{\big [}$ le fluide étant au repos relativement à la paroi ${\big ]}\;$ s’écrit

«

\;{\overrightarrow {dF}}_{\,{\text{paroi}}\;\leftarrow \;{\text{fluide}}}(M)=p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;

=p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;

» avec
«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{fluide}}\;\rightarrow \;{\text{paroi}}}(M)\;

».

Utilisation des symétries (ou antisymétries) planes de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes modifier

Invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes modifier

Vue de dessus et vue en perspective d'un barrage hémicylindrique explicitant

\;{\big (}

sur la vue de dessus

{\big )}\;

l'invariance par symétrie plane relativement à

\;xOz\;

de la répartition des forces pressantes exercées par l'eau sur le barrage

Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi est invariante par symétrie plane relativement à un plan ${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ ^[11], c’est aussi un plan de symétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est dans ce plan de symétrie ${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ $\;{\Big \{}$ cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par symétrie plane,

d'une part leur résultante $\;{\big (}$ c'est-à-dire leur somme ${\big )}\;$ la possède également et
d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan de symétrie^[12] d'où

la résultante des forces pressantes est nécessairement contenue dans ce plan^[13] ${\Big \}}$ $\;{\big (}$ voir ci-contre à droite ${\big )}$ .

Invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes modifier

Vue de dessus exposant l'invariance par antisymétrie plane relativement à

\;yOz\;

de la répartition des forces pressantes exercées par l'eau sur l'ensemble des surfaces hémicylindriques convexe à gauche et concave à droite

Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi^[14] est invariante par antisymétrie plane relativement à un plan ${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ ^[15], c’est aussi un plan d'antisymétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est ${\underline {\;\perp \;}}$ à ce plan d'antisymétrie ${\underline {\;\left(\Pi \right)}}$ $\;{\Big \{}$ cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par antisymétrie plane,

d'une part leur résultante $\;{\big (}$ c'est-à-dire leur somme ${\big )}\;$ la possède également et
d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan d'antisymétrie^[16] d'où

la résultante des forces pressantes est nécessairement $\;\perp \;$ à ce plan^[17] ${\Big \}}$ $\;{\big (}$ voir ci-contre à gauche ${\big )}$ .

Commentaire : L'invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi^[14] ne se rencontre pratiquement jamais dans les exemples pratiques $\;{\big (}$ nous avons vu sur l'exemple ci-dessus que la paroi choisie^[14] est sophistiquée ${\big )}$ ,
Commentaire : le cas le plus fréquent étant la reconnaissance d'une invariance par symétrie plane étudiée au paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre $\;\ldots$

Exemple d'évaluation de la résultante des forces pressantes : forces pressantes s'exerçant sur un barrage hémicylindrique modifier

Présentation du barrage hémicylindrique modifier

On considère un barrage hémicylindrique d’axe $\;Oz$ , de « hauteur $\;h\;$ »^[18] et de « rayon $\;a\;$ », l’eau étant située du côté « concave » du barrage $\;{\big (}$ voir les schémas de droite, en vue de dessus et en perspective, du paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ , le repérage du point générique $\;M\;$ du barrage étant cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}$ , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle $\;O\;$ ${\big (}$ choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau ${\big )}$ , l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant choisi horizontal dans le plan de symétrie du barrage, axe orienté dans le sens « eau - barrage » et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ horizontal tel que « le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big (}$ l'espace physique étant orienté à droite^[1] ${\big )}\;$ »^[4],
on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ que l’eau exerce sur le barrage » quand la hauteur maximale d’eau est retenue.

Rappel des propriétés de symétrie déterminant la direction de la résultante des forces pressantes modifier

d'une part le plan $\;xOz\;$ étant un plan de symétrie de la répartition des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage^[19], la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est dans ce plan d'où

«

\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,y}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{y}=0\;

» ;

d'autre part les forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage étant toutes horizontales $\;{\big (}$ car le barrage est vertical ${\big )}$ , la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est aussi horizontale d'où

«

\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,z}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;

» ;

des deux informations précédentes on en déduit que la direction de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ est horizontale selon $\;{\vec {u}}_{x}\;$ soit

«

\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;

».

Calcul de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage modifier

Soit $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ , elle se calcule selon

«

\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}\;

»^[20] avec
«

\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)\;

le vecteur surface élémentaire du barrage en

\;M

, point générique de ce dernier,

\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)\;

y étant le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage », ou encore,

en utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}$ , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle $\;O\;$ ${\big (}$ choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau ${\big )}\;$ nous en déduisons que

d'une part le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage s'identifie au 1^er vecteur de base cylindro-polaire en $\;M$ soit « $\;{\vec {n}}_{\,{\text{eau}}\,\rightarrow \,\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}(M)={\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ » et
d'autre part l'aire de la surface élémentaire en $\;M\left\lbrace a\,,\,\theta _{M}={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$ s'écrit « $\;dS_{M}=a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;$ »^[21],

d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ ,

«

\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p(M)\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;

»^[20] ;

la pression $\;p(M)\;$ au point générique $\;M\left\lbrace a\,,\,\theta _{M}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;$ du barrage s’obtenant par intégrale 1^ère spatiale $\;{\big [}$ l'axe vertical étant ascendant, l'intensité de la pesanteur uniforme égale à $\;g$ , la masse volumique de l'eau $\;\mu _{\text{eau}}\;$ constante et $\;p_{0}\;$ la pression de l'atmosphère à la surface libre de l'eau ${\big ]}\;$

«

\;p(M)+\mu _{\text{eau}}\;g\;z_{M}=cste=p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;h\;

»^[22],
ou encore «

\;p(M)=p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\;

» ;

d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ ,

«

\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;

^[20],

=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;d\theta _{M}\right]dz_{M}\;

»^[23] ;

pour terminer nous utilisons « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}={\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\cdot {\vec {u}}_{x}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\;d\theta _{M}\right]dz_{M}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{x}\;$ » ou, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant un vecteur constant, « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\left[{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}\right]d\theta _{M}\right\rbrace dz_{M}\;$ » soit enfin, avec « $\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}=\cos \!\left(\theta _{M}\right)\;$ », « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=$ $\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]dz_{M}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;dz_{M}\right\rbrace \,\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]\;$ »^[24] dans lequel

« $\;\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}=\left[\sin \!\left(\theta _{M}\right)\right]_{-{\dfrac {\pi }{2}}}^{+{\dfrac {\pi }{2}}}=2\;$ » et
« $\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}\left[p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\,\left(h-z_{M}\right)\right]\,a\;dz_{M}=a\,\left[\left(p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;h\right)\,z_{M}-\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {z_{M}^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}=a\,\left(p_{0}\;h+\mu _{\text{eau}}\;g\;h^{2}-\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {h^{2}}{2}}\right)=\left(p_{0}+\mu _{\text{eau}}\;g\;{\dfrac {h}{2}}\right)\,a\;h\;$ »

d'où l'expression de la composante de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}\;$ » puis de la résultante « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}\;$ » :

«

\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}},\,x}=2\;p_{0}\;a\;h+\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;

» soit finalement
«

\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}=2\;p_{0}\;a\;h\;{\vec {u}}_{x}+\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;{\vec {u}}_{x}\;

».

Remarque : Dans l'hypothèse où l'eau retenue par le barrage est remplacée par de l'air $\;{\big (}$ c'est-à-dire si l'eau retenue a été libérée par ouverture des vannes d'évacuation ${\big )}$ , la résultante des forces pressantes que l'air exerce sur la partie du barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ usuellement immergée est « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}=\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p_{0}\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ »^[20] avec « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}={\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » pour les mêmes raisons d'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie relativement à $\;\left(yOz\right)\;$ d'où « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\left[\displaystyle \iint \limits _{\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)}p_{0}\;a\;d\theta _{M}\;dz_{M}\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{x}\;$ »^[20] ce qui donne, $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant un vecteur constant, « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\left[{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}\right]d\theta _{M}\right\rbrace dz_{M}\;$ »^[23] ou, « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]dz_{M}\;$ » sachant que $\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta _{M})\cdot {\vec {u}}_{x}=$ $\cos \!\left(\theta _{M}\right)$ , soit « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=\left\lbrace \displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=h}p_{0}\;a\;dz_{M}\right\rbrace \,\left[\displaystyle \int _{\theta _{M}=-{\dfrac {\pi }{2}}}^{\theta _{M}=+{\dfrac {\pi }{2}}}\cos \!\left(\theta _{M}\right)\,d\theta _{M}\right]\;$ »^[24] ou « $\;{\overline {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}},\,x}=2\;p_{0}\;a\;h\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}=2\;p_{0}\;a\;h\;{\vec {u}}_{x}\;$ » ;

Remarque : nous en déduisons que le remplissage de la réserve d'eau située en amont du barrage hémicylindrique $\;\left({\mathcal {T}}_{\text{hémicyl}}\right)$ engendre une résultante de forces pressantes « $\;{\overrightarrow {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}}}=$ ${\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau}}}-{\vec {R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{air}}}\;$ » soit « $\;{\overrightarrow {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}}}=\mu _{\text{eau}}\;g\;a\;h^{2}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » $\;{\big [}$ numériquement, avec $\;\mu _{\text{eau}}\simeq 10^{3}\;kg\cdot m^{-3}$ , $\;g\simeq 9,8\;m\cdot s^{-2}$ , $\;a\simeq 50\;m\;$ et $\;h\simeq 20\;m$ , « $\;{\overline {\Delta R}}_{\,{\text{barrage}}\,\leftarrow \,{\text{eau }}\,/\,{\text{air}},\,x}\simeq$ $10^{3}\times 9,8\times 50\times (20)^{2}\simeq 1,96\;10^{8}\;N\simeq 196\;10^{6}\;N\;$ » c'est-à-dire une force de poussée horizontale équivalente au poids d'une charge de $\;2\;10^{7}\;kg=20000\;t\;$ ^[25] ${\big ]}$ .

Autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme modifier

Bien que ce ne soit pas précisé dans ce paragraphe, on rappelle que le fluide considéré et le corps y étant immergé sont au repos dans le référentiel d'étude.

Exposé du problème et expression de la force pressante que le fluide exerce sur un élément de surface de la sphère limitant le corps totalement immergé modifier

Corps sphérique

\;\left({\mathcal {C}}\right)\;

totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène

\;\left({\mathcal {F}}\right)\;

en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation de la force pressante

\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;

que

\;\left({\mathcal {F}}\right)\;

exerce sur

\;\left({\mathcal {C}}\right)\;

en

\;M\;

point quelconque de la surface de ce dernier

On considère un corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de centre $\;C$ , de rayon $\;a$ , totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\;{\big (}$ réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme ${\big )}$ , le centre $\;C\;$ étant repérée par sa « cote $\;z_{C}\;$ » relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant $\;{\big (}$ voir le schéma ci-contre ${\big )}$ ,

on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ » appelée « poussée d'Archimède^[26] dans la mesure où le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable » et pour cela

on rappelle l'expression de la force pressante que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sur l'élément de surface centré en $\;M\;$ point générique de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de « vecteur surface élémentaire $\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$ » $\;{\big [}{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$ étant le vecteur unitaire normal à $\;\left(S\right)\;$ en $\;M\;$ orienté vers l'extérieur et $\;dS_{M}\;$ l'aire de la surface élémentaire ${\big ]}$ , soit

«

\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;{\overrightarrow {dS}}_{M}=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;

» où
«

\;p(M)\;

est la pression exercée par le fluide

\;\left({\mathcal {F}}\right)\;

sur la surface

\;\left(S\right)\;

au point

\;M\;

» ;

compte-tenu du fait que la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est une sphère de centre $\;C$ , le meilleur repérage du point générique $\;M\;$ de $\;\left(S\right)\;$ est un repérage sphérique de pôle $\;C$ , nous le choisissons d'axe vertical ascendant $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {u}}_{r}(M)\;$ » le 1^er vecteur de la « base sphérique liée à $\;M\;$ orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$ »^[4], le point $\;M\;$ étant de « coordonnées $\;\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ » ;

la pression $\;p(M)\;$ exercée par le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur la surface $\;\left(S\right)\;$ au point $\;M\;$ s'obtient par application de l'intégrale 1^ère spatiale du fluide selon « $\;p(M)+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;z_{M}$ $=cste=p(O_{C})+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;z_{C}\;$ »^[22] où $\;O_{C}\;$ est un point du fluide à la même cote $\;z_{C}\;$ que le centre $\;C\;$ de la sphère avec $\;z_{M}=z_{C}+a\;\cos(\theta )\;$ d'où, l'expression de la pression cherchée « $\;p(M)=p(O_{C})+\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\,\left[z_{C}-z_{M}\right]\;$ » ou encore, celle-ci étant la même dans un même plan horizontal,

Corps sphérique

\;\left({\mathcal {C}}\right)\;

immergé dans un fluide incompressible et homogène

\;\left({\mathcal {F}}\right)\;

en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec précision de l'invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes

\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;

que le fluide

\;\left({\mathcal {F}}\right)\;

exerce sur le corps

\;\left({\mathcal {C}}\right)\;

relativement à tout plan vertical passant par le centre

\;C\;

du corps

«

\;p(M)=p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\;

» d'où
«

\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;

» avec
«

\;dS_{M}=a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;

l'aire de la surface élémentaire de

\;\left(S\right)\;

centrée en

\;M\;

»^[27].

Utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes modifier

Tout plan vertical ${\underline {\;\left(\Pi \right)\;}}$ contenant le centre ${\underline {\;C\;}}$ de la sphère ${\underline {\;\left(S\right)\;}}$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est plan de symétrie de la répartition des forces pressantes « $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=$ $-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ en $\;M\;$ point générique de $\;\left(S\right)\;$ » $\;{\big \{}$ en effet $\;M\;$ et $\;M'\;$ étant deux points de $\;\left(S\right)$ , symétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)$ , sont dans un même plan horizontal et donc soumis à la même pression $\;p(M)=p(M')\;$ d'une part et d'autre part ces points ayant une même colatitude $\;\theta \;$ et des longitudes $\;\varphi \;$ séparées de $\;\pi \;$ sont associés à des vecteurs surfaces élémentaires symétriques relativement à $\;\left(\Pi \right)$ $\;{\big [}$ mêmes aires élémentaires et 1^ers vecteurs de base sphérique symétriques relativement à $\;\left(\Pi \right){\big ]}\;$ voir ci-contre ${\big \}}$ ,

on en déduit que « la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ » possédant la même invariance de symétrie plane par rapport à tous ces plans verticaux est $\;\parallel \;$ à tous ceux-ci donc verticale soit

«

\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;

».

Remarque : la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est « équivalente à sa résultante $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ » dans la mesure où le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable $\;{\big (}{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ est appelée « poussée d'Archimède »^[26] ${\big )}\;$ appliquée en un point $\;P\;$ particulier de l'axe vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique, point particulier appelé « centre de poussée » $\;{\big [}$ voir la justification dans la note « ¹² » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .

Calcul de la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps sphérique modifier

L'expression de la force pressante que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ au point $\;M\,\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant « $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=$ $-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ » avec « $\;dS_{M}=a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ l'aire de la surface élémentaire de $\;\left(S\right)\;$ centrée en $\;M\;$ »^[27], la résultante de ces forces pressantes s'évalue selon

«

\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;

»^[20] ou encore,

sachant que la direction de la résultante est suivant la verticale c'est-à-dire que « $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ », on en déduit la composante verticale « $\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;$ » en projetant son expression intégrale sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$

«

\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left\lbrace \displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{z}\;

»^[20] et,

comme le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ est constant, on peut permuter l'intégration surfacique et la multiplication scalaire puis utiliser « $\;{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;$ » selon

«

\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\,\left[{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\right]=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{M}\;

»^[20],

enfin, la fonction à intégrer « $\;-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;$ » de l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre $\;\varphi$ $\;{\big (}$ ne dépendant que de $\;\theta {\big )}\;$ », on peut remplacer $\;dS_{M}\;$ par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ » « $\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=$ $2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ »^[28]^,^[29] soit finalement

«

\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}

=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\,\left[2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \right]

=2\;\pi \;a^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\pi }-p(z_{C})\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta +\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace \;

»,

la 1^ère intégrale « $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }-p(z_{C})\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ » s'évaluant selon « $\;p(z_{C})\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(\theta )\;d\left[\cos(\theta )\right]=p(z_{C})\,\left[{\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{0}^{\pi }=0\;$ » et
la 2^ème intégrale « $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos ^{2}(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ » s'évaluant selon « $\;-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\;d\left[\cos(\theta )\right]=-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\,\left[{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}\right]_{0}^{\pi }={\dfrac {2}{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;$ »,

d'où l'expression finale de la composante verticale de la résultante des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$

«

\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\dfrac {4\;\pi }{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a^{3}\;

»

\Downarrow

«

\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;{\dfrac {4\;\pi \;a^{3}}{3}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;

»
c'est-à-dire verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé »^[30].

Remarque : le calcul fait ci-dessus n’est applicable que dans un fluide à masse volumique constante comme par exemple un fluide incompressible, homogène à évolution isotherme mais $\;\ldots$

Remarque : le fait que la « résultante des forces pressantes est verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé »^[30] reste valable dans un fluide compressible et inhomogène $\;\ldots \;$ bien sûr, une autre démonstration de ce résultat doit être fournie $\;{\big [}$ voir le paragraphe « en complément, démonstration du théorème d'Archimède » du chap. $5$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » ${\big ]}$ .

Notes et références modifier

↑ ^1,0 et ^1,1 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ou vecteur élément de surface.
↑ Si la surface $\;\left(S\right)\;$ est définie par une équation sous forme implicite $\;f(M)=0$ , $\;M\;$ est un point régulier de $\;\left(S\right)\;$ si $\;f\;$ y est continûment dérivable c'est-à-dire de classe $\;C^{\,1}\;$ $\Rightarrow$ il existe alors, en $\;M$ , un plan tangent à $\;\left(S\right)$ .
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 et ^4,6 Une base directe, dans un espace orienté à droite $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « ¹² » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 et ^5,4 À connaître sans hésitation ; reconnaître d'abord, dans la base du repérage choisi $\;{\big (}$ et si cela est possible ${\big )}$ , le vecteur unitaire $\;\perp \;$ à la surface considérée, l'aire de l'élément de surface en $\;M\;$ est alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base ;
la connaissance des composantes du vecteur déplacement élémentaire dans les différents systèmes de repérage entraîne l'absence d'effort de mémoire supplémentaire à faire $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage cartésien (du vecteur surface élémentaire) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire du plan xOy) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe Oz) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage sphérique (du vecteur surface élémentaire de la sphère de centre O) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage sphérique (du vecteur surface élémentaire d'un cône de révolution de sommet O et d'axe Oz) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑
Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ;
soit $\;A\;$ un point du plan de symétrie $\;\left(\Pi \right)\;$ par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante, $\;\left(M\,,\,M'\right)\;$ un couple de points symétriques par rapport $\;\left(\Pi \right)$ , nous en déduisons que
- d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple $\;{\overrightarrow {dF}}(M)\;$ et $\;{\overrightarrow {dF}}(M')\;$ étant symétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)\;$ et
- d'autre part, les vecteurs position de $\;M\;$ et $\;M'\;$ par rapport à $\;A$ , à savoir $\;{\overrightarrow {AM}}\;$ et $\;{\overrightarrow {AM'}}$ , étant également symétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)$ ,
   les moments vectoriels par rapport à $\;A\;$ des forces pressantes en chacun des points du couple, à savoir $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}\!\left[{\overrightarrow {dF}}(M)\right]={\overrightarrow {AM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}(M)\;$ et $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}\!\left[{\overrightarrow {dF}}(M')\right]={\overrightarrow {AM'}}\wedge {\overrightarrow {dF}}(M')\;$ sont invariants par antisymétrie plane relativement à $\;(\Pi )$ $\;{\Big \{}$ voir le paragraphe « invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la notion d'antisymétrie plane ainsi que le fait que le produit vectoriel de deux vecteurs polaires $\;{\big (}$ ou vrais vecteurs ${\big )}\;$ est un vecteur axial $\;{\big (}$ ou pseudo-vecteur ${\big )}$ , voir le paragraphe « produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires) » du même chap. $20$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les notions de vrais vecteurs et de pseudo-vecteurs étant exposées dans les paragraphes « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » et «définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)» du même chap. $20$ de cette même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\Big \}}\;$ c'est-à-dire de même composante selon une direction $\;\perp \;$ à $\;(\Pi )\;$ et de composantes opposées dans le plan $\;(\Pi )\;$ $\Rightarrow$ un moment vectoriel résultant en $\;A\in (\Pi )\;$ des forces pressantes de direction $\;\perp \;$ à $\;(\Pi )$   ;
   finalement notant $\;\left(xAz\right)\;$ le plan $\;(\Pi )\;$ et $\;{\overrightarrow {Ay}}\;$ l'axe $\;\perp \;$ à $\;(\Pi )\;$ en $\;A$ , « la résultante des forces pressantes s'écrivant $\;{\vec {R}}=R_{x}\;{\vec {u}}_{x}+R_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et « le moment vectoriel résultant en $\;A\;$ de ces forces pressantes $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}={\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}\;{\vec {u}}_{y}\;$ », nous en déduisons, en utilisant la formule de changement d'origine des moments vectoriels résultants $\;{\big [}$ voir le paragraphe « complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable aussi à une somme partielle de forces ${\big ]}$ , le moment vectoriel résultant en un autre point $\;A'\,\in \,(\Pi )\;$ de coordonnées $\;\left(x_{A'}\,,\,0\,,\,z_{A'}\right)\;$ selon « $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A'}={\vec {\mathcal {M}}}_{A}+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {R}}={\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}\;{\vec {u}}_{y}-\left(x_{A'}\;{\vec {u}}_{x}+z_{A'}\;{\vec {u}}_{z}\right)\wedge \left(R_{x}\;{\vec {u}}_{x}+R_{z}\;{\vec {u}}_{z}\right)\;$ » soit finalement « $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A'}=$ $\left[{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}+\left(R_{z}\;x_{A'}-R_{x}\;z_{A'}\right)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;$ » $\Rightarrow$ il existe une infinité de points $\;A'\,\in \,(\Pi )\;$ en lequel le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul, ces points se trouvant sur la droite d'équation dans le plan $\;(\Pi )\;$ « $\;R_{z}\;x_{A'}-R_{x}\;z_{A'}+{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}=0\;$ » $\;{\big [}$ de cette équation nous déduisons que $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur directeur de la droite, c'est-à-dire que la droite est $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {R}}{\big ]}$   ;
   en conséquence, la répartition de forces pressantes considérée est équivalente à sa résultante appliquée en un point quelconque de cette droite.
   En utilisant la notion de torseur $\;{\big (}$ hors programme de physique de P.C.S.I. ${\big )}\;$ et d'après le résultat établi ci-dessus, les forces pressantes considérées définissent un torseur glisseur $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition un torseur glisseur » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ , la droite, ensemble des points origines en lesquels le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul étant l'axe central du torseur glisseur $\;{\big [}$ voir les paragraphes « définition d'axe central d'un torseur » et « 1^ère propriété d'un torseur glisseur » du même chap. $1$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ , ce dernier étant encore appelé « support du glisseur ».
↑ Voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions (2^ème conséquence pratique) » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » exposant que le champ vectoriel invariant par symétrie plane en un point $\;N\;$ de ce plan est contenu dans ce dernier.
↑ ^14,0 ^14,1 et ^14,2 Paroi au sens large, sur l'exemple choisi la paroi est composée de deux surfaces hémicylindriques l'une concave et l'autre convexe.
↑ Voir le paragraphe « invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑
Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ;
soit $\;A\;$ un point du plan d'antisymétrie $\;\left(\Pi \right)\;$ par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante, $\;\left(M\,,\,M'\right)\;$ un couple de points symétriques par rapport $\;\left(\Pi \right)$ , nous en déduisons que
- d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple $\;{\overrightarrow {dF}}(M)\;$ et $\;{\overrightarrow {dF}}(M')\;$ étant antisymétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)\;$ et
- d'autre part, les vecteurs position de $\;M\;$ et $\;M'\;$ par rapport à $\;A$ , à savoir $\;{\overrightarrow {AM}}\;$ et $\;{\overrightarrow {AM'}}$ , étant quant à eux symétriques par rapport à $\;\left(\Pi \right)$ ,
   les moments vectoriels par rapport à $\;A\;$ des forces pressantes en chacun des points du couple, à savoir $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}\!\left[{\overrightarrow {dF}}(M)\right]={\overrightarrow {AM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}(M)\;$ et $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}\!\left[{\overrightarrow {dF}}(M')\right]={\overrightarrow {AM'}}\wedge {\overrightarrow {dF}}(M')\;$ sont invariants par symétrie plane relativement à $\;(\Pi )$ $\;{\Big \{}$ voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la notion de symétrie plane ainsi que le fait que le produit vectoriel d'un vecteur polaire $\;{\big (}$ ou vrai vecteur ${\big )}\;$ invariant par symétrie et d'un autre vecteur polaire $\;{\big (}$ ou vrai vecteur ${\big )}\;$ invariant par antisymétrie, tous deux de point d'application $\;M$ , se transforme, en prenant le point d'application $\;M'$ , en un vecteur égal au symétrique du produit vectoriel initial de point d'application $\;M$ $\;{\Big [}$ en effet, leurs composantes respectives $\;\parallel \;$ au plan $\;(\Pi )=(yOz)\;$ restent les mêmes $\;{\big (}$ celles-ci résultant des produits vectoriels $\;AM_{y}\;{\vec {u}}_{y}\wedge dF_{x}\;{\vec {u}}_{x}$ , $\;AM_{x}\;{\vec {u}}_{x}\wedge dF_{y}\;{\vec {u}}_{y}$ , $\;AM_{z}\;{\vec {u}}_{z}\wedge dF_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;AM_{x}\;{\vec {u}}_{x}\wedge dF_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ dans lesquels $\;AM_{x}\;$ est changé en son opposé, $\;AM_{y}\;$ et $\;AM_{z}\;$ restant inchangés, $\;dF_{x}\;$ restant inchangé, $\;dF_{y}\;$ et $\;dF_{z}\;$ sont changés en leur opposé ${\big )}\;$ alors que celle $\;\perp \;$ au plan se transforme en son opposé $\;{\big (}$ celle-ci résultant des produits vectoriels $\;AM_{y}\;{\vec {u}}_{y}\wedge dF_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;AM_{z}\;{\vec {u}}_{z}\wedge dF_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ dans lesquels $\;AM_{y}\;$ et $\;AM_{z}\;$ restant inchangés, $\;dF_{y}\;$ et $\;dF_{z}\;$ sont changés en leur opposé ${\big )}{\Big ]}{\Big \}}\;$ c'est-à-dire de composantes opposées selon une direction $\;\perp \;$ à $\;(\Pi )\;$ et de mêmes composantes dans le plan $\;(\Pi )\;$ $\Rightarrow$ un moment vectoriel résultant en $\;A\in (\Pi )\;$ des forces pressantes de direction $\;\parallel \;$ à $\;(\Pi )$   ;
   finalement notant $\;\left(yAz\right)\;$ le plan $\;(\Pi )\;$ et $\;{\overrightarrow {Ax}}\;$ l'axe $\;\perp \;$ à $\;(\Pi )\;$ en $\;A$ , « la résultante des forces pressantes s'écrivant $\;{\vec {R}}=R\;{\vec {u}}_{x}\;$ » et « le moment vectoriel résultant en $\;A\;$ de ces forces pressantes $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A}={\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{y}\;{\vec {u}}_{y}+{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ », nous en déduisons, en utilisant la formule de changement d'origine des moments vectoriels résultants $\;{\big [}$ voir le paragraphe « complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable aussi à une somme partielle de forces ${\big ]}$ , le moment vectoriel résultant en un autre point $\;A'\,\in \,(\Pi )\;$ de coordonnées $\;\left(0\,,\,y_{A'}\,,\,z_{A'}\right)\;$ selon « $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A'}={\vec {\mathcal {M}}}_{A}+{\overrightarrow {A'A}}\wedge {\vec {R}}=\left({\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{y}\;{\vec {u}}_{y}+{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{z}\;{\vec {u}}_{z}\right)-\left(y_{A'}\;{\vec {u}}_{y}+z_{A'}\;{\vec {u}}_{z}\right)\wedge R\;{\vec {u}}_{x}\;$ » soit finalement « $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A'}=$ $\left[{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{y}+R\;z_{A'}\right]\,{\vec {u}}_{y}+\left[{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{z}-R\;y_{A'}\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\Rightarrow$ il existe un point $\;A'\,\in \,(\Pi )\;$ en lequel le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul, ce point ayant des coordonnées dans le plan $\;(\Pi )\;$ telles que « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{y}+R\;z_{A'}=0\\{\overline {{\mathcal {M}}_{A}}}_{z}-R\;y_{A'}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
   en conséquence, la répartition de forces pressantes considérée est équivalente à sa résultante appliquée au point $\;A'\;$ précédemment défini.
   En utilisant la notion de torseur $\;{\big (}$ hors programme de physique de P.C.S.I. ${\big )}\;$ et d'après le résultat établi ci-dessus, les forces pressantes considérées définissent un torseur glisseur $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition un torseur glisseur » du chap. $1$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions (2^ème conséquence pratique) » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » exposant que le champ vectoriel invariant par antisymétrie plane en un point $\;N\;$ de ce plan est $\;\perp \;$ à ce dernier.
↑ Il s’agit en fait de la hauteur maximale d’eau que ce barrage peut retenir.
↑ Voir le paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 ^20,3 ^20,4 ^20,5 ^20,6 et ^20,7 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire d'une portion de surface latérale d'un tuyau cylindrique) » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^22,0 et ^22,1 Voir le paragraphe « application au modèle de fluide à masse volumique constante, intégrale 1^ère spatiale » du chap. $2$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
↑ ^23,0 et ^23,1 On utilise un des théorèmes de Fubini permettant de transformer une intégrale surfacique en un ensemble de deux intégrales emboîtées en figeant un des paramètres et en intégrant sur l’autre $\;{\big (}$ les bornes de cet autre paramètre dépendant, a priori, du paramètre figé ${\big )}\;$ puis en libérant le 1^er paramètre pour intégrer sur lui.
Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
↑ ^24,0 et ^24,1 Dans la mesure où les bornes de l'intégrale « intérieure » $\;{\big (}$ dans l'ensemble des deux intégrales emboîtées, l'intégrale « intérieure » ici étant sur $\;\theta _{M}{\big )}\;$ ne dépendent pas du paramètre figé $\;{\big (}$ ici $\;z_{M}{\big )}$ , l'ensemble des deux intégrales emboîtées devient un produit d'intégrales indépendantes l'une de l'autre.
↑ La tonne $\;{\big (}$ de symbole « $\;t\;$ » ${\big )}\;$ est un multiple du kilogramme valant « $\;1\;t=10^{3}\;kg\;$ ».
↑ ^26,0 et ^26,1 Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de Sicile $\;{\big (}$ Grande-Grèce ${\big )}$ , considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ;
   on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ;
   en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ;
   il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de $\;\pi \;$ avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution $\;\ldots$
↑ ^27,0 et ^27,1 Voir le paragraphe « expression en paramétrage sphérique (du vecteur surface élémentaire d'une portion de sphère) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Longueur du parallèle de colatitude $\;\theta$ , $\;2\;\pi \;a\;\sin(\theta )$ $\;{\big [}$ le rayon du parallèle étant $\;a\;\sin(\theta ){\big ]}\;$ multipliée par la largeur de la couronne $\;a\;d\theta$ .
↑ Voir la justification dans la note « ⁶⁷ » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^30,0 et ^30,1 Le « fluide déplacé » étant le fluide de même expansion tridimensionnelle que le corps et en la même position.