Électrostatique des conducteurs/Système de deux conducteurs en équilibre électrostatique

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Théorème des éléments correspondants

Théorème des éléments correspondants

Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique.

On considère un tube de champ de surface latérale Σ_l reliant un élément de surface s₁ de S₁ à un élément de surface s₂ de S₂. s₁ et s₂ portent respectivement les charges q₁ et q₂.

Éléments correspondants

On dit de s₁ et s₂ que ce sont des éléments correspondants.

On imagine alors une surface Σ₁ s'appuyant sur le contour de s₁, mais incluse dans le conducteur S₁. De même, on pose Σ₂ une surface s'appuyant sur le contour de s₂ tout en étant incluse dans le conducteur S₂.

On note $\Sigma =\Sigma _{l}\cup \Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}$. Σ est une surface fermée : on peut donc lui appliquer le théorème de Gauss : ${\frac {q_{1}+q_{2}}{\epsilon _{0}}}=\int _{\Sigma _{1}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}+\int _{\Sigma _{2}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}+\int _{\Sigma _{l}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$

• À l'intérieur d'un conducteur en équilibre électrostatique, ${\vec {E}}={\vec {0}}$, donc $\int _{\Sigma _{1}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=0$ et $\int _{\Sigma _{2}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=0$.
• À la surface d'un tube de champ, le champ est tangentiel à la normale au tube de champ, donc $\int _{\Sigma _{l}}{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=0$

On en déduit que q₂ = - q₁.

Début d’un théorème

Théorème des éléments correspondants

Deux éléments correspondants portent des charges opposées.

Fin du théorème

Matrice de capacité

Soient deux conducteurs de l'espace S₁ et S₂ en équilibre électrostatique, de surfaces respectives Σ₁ et Σ₂.

$Q_{1}=\iint _{\Sigma _{1}}\sigma (P)\,\mathrm {d} ^{2}S$

$Q_{2}=\iint _{\Sigma _{2}}\sigma (P)\,\mathrm {d} ^{2}S$

$V(M)=\iint _{\Sigma }{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma (P)\,\mathrm {d} ^{2}S}{PM}}$

$V(M_{1})=\iint _{\Sigma }{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma (P)\,\mathrm {d} ^{2}S}{PM_{1}}}$

$V(M_{2})=\iint _{\Sigma }{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\sigma (P)\,\mathrm {d} ^{2}S}{PM_{2}}}$

Si $V(M_{1})=0$ et $V(M_{2})=0$, $\forall M,V(M)=0$ d'où ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V={\vec {0}}$ donc ${\vec {E}}(P)={\vec {0}}={\frac {\sigma (P)}{\epsilon _{0}}}$$\sigma (P)=0$

${\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{1,2}&C_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}$

• C_i,i > 0 : Coefficients de capacité
• C_i,j < 0 : Coefficients d'influence
• C symétrique
• C_i,j : ne dépendent que de la géometrie des conducteurs

Conducteurs en influence totale

Influence totale

Deux conducteurs sont en influence totale lorsque l'un entoure totalement l'autre. On dit donc que toutes les lignes de champs du premier conducteur se referment sur le deuxième.