Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre

Fiche mémoire sur les équations différentielles du premier ordre

Sans second membre

Soit une équation générale du type

$Ay'+By=0$

Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant $y$, on sous-entend $y(x)$.
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.

On la transforme afin d’avoir la dérivée de la fonction d’un côté du signe égal, et la fonction elle-même de l'autre côté, ce qui donne :

$Ay'=-By$

Ensuite, on passe la fonction et sa dérivée du même côté du signe égal, les constantes de l'autre. On obtient alors :

${\frac {y'}{y}}={\frac {-B}{A}}$

Afin de simplifier les calculs suivants, on introduit C tel que :

$C={\frac {-B}{A}}$

Et on a alors :

${\frac {y'}{y}}=C$

On a vu dans le chapitre sur les dérivées que :

$\left[ln(y)\right]'={\frac {y'}{y}}$

Et là, il faut faire attention, car la fonction logarithme n’est pas définie partout, mais seulement pour $y>0$.

Si on reprend ce que l’on vient d'écrire, on a donc :

$\left[ln(y)\right]'=C$

Si on intègre l'équation, il faut faire attention à la variable de la fonction de y que l’on n'a pas écrite.
Rappelez-vous ce que nous avons dit au départ : "ainsi en écrivant $y$, on sous-entend $y(x)$.". Donc en fait, on a ici :

$\left[ln\left(y(x)\right)\right]'=C$

Après intégration, on obtient :

$\left[ln\left(y(x)\right)\right]=Cx+Cte$

Puisque l’on ne veut qu'y(x) à gauche, il faut éliminer le logarithme en mettant l'équation à l'exponentielle :

$e^{\left[ln\left(y(x)\right)\right]}=e^{Cx+Cte}$

Donc :

$y(x)=e^{Cx+Cte}$

Il ne reste qu’à connaître un point précis de la fonction y à un x donné pour que l’on puisse fixer la constante.

Avec second membre

Soit une équation générale du type

$Ay'+By=C$

Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant $y$, on sous-entend $y(x)$.
Il faut s'en souvenir, car on en aura besoin à un moment.

Pour la résoudre facilement, on va faire 2 opérations.
On la transforme pour avoir une équation de type sans second membre, soit :

$Ay'+By=0$

Et pour résoudre cela, il faut voir le paragraphe précédent qui est clairement expliqué. On obtient donc comme résultat :

$y(x)=e^{Cx+Cte}$

mais ce n’est pas fini puisqu'on a fait qu'une solution particulière.

pour cela, on transforme l'équation en :

$y(x)=e^{Cx+k(x)}$

et on essaie de la résoudre en reprenant la première équation

$y'(x)=\left(C+k'(x)\right)e^{Cx+k(x)}$

$A\left(C+k'(x)\right)e^{Cx+k(x)}+B.e^{Cx+k(x)}=C$