Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre

Fiche mémoire sur les équations différentielles du premier ordre
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Équation différentielle/Fiche/Équation différentielle du premier ordre
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Equations linéaires à coefficients variables et second membre variable

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Soit une équation linéaire du premier ordre définie de la façon la plus générale :

 

Avec :

  •   : fonctions réelles (ces variables peuvent également être des nombres constants). Le terme   doit toujours être différent de 0.
  •   : dérivée première de la fonction  .
  •   : fonction dont il faut trouver l'expression en prenant en compte tous les autres éléments de l'équation. Pour cela, chercher, exprimer et additionner les deux solutions (particulière et générale).


Attention à la notation.
En effet, lorsqu'on travaille sur les équations différentielles, on indique souvent la fonction sans sa variable. Ainsi en écrivant  , on sous-entend  .

Equation linéaire sans second membre

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L'équation linéaire sans second membre est définie par :

 


La solution générale de cette équation est définie par l'expression suivante :

 

Avec :

  •   : Constante (nombre réel)
  •  

Equation linéaire avec second membre

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L'équation linéaire avec second membre est définie par :

 


Une solution particulière de cette équation est définie par l'expression suivante :

 

Avec :

  •  

Ensemble des solutions d'une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables

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Une équation différentielle du 1er ordre à coefficients et second membre variables admet l'ensemble des solutions suivant :