Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Descartes
Exercice 6-1
modifierLes polynômes :
- ;
- ;
- ;
- ;
ont été obtenus en développant un produit de deux polynômes du second degré à coefficients entiers.
Retrouver la factorisation de ces polynômes comme produits de deux polynômes du second degré à coefficients entiers, par la méthode de Descartes.
Tous calculs faits, on trouve :
Exercice 6-2
modifierRésoudre par la méthode de Descartes l'équation :
.
Essayons de mettre l'équation :
sous la forme :
- .
En développant le premier membre, nous obtenons :
- .
Par identification des coefficients, nous obtenons le système :
Nous voyons alors que ce système peut s'écrire :
Par addition et soustraction membre à membre des deux premières équations, on obtient :
En portant les valeurs trouvées de b et c des deux premières équations dans la troisième, on obtient :
La troisième équation peut alors s'écrire, en utilisant l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a2 - b2 :
- .
En multipliant les deux membres par a2, en développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient :
- .
Nous voyons alors que a2 est racine de l'équation :
- .
Cette équation admet 2 comme racine évidente. Par conséquent, on peut poser :
et l'on peut choisir :
- .
On en déduit ensuite :
- ;
- .
En reportant les valeurs trouvées de a, b, c dans :
- ,
nous voyons que l'équation que l’on devait résoudre s'écrit :
et par conséquent, x vérifie l'une des deux équations du second degré suivantes :
- ;
- .
En résolvant ces deux équations, on trouve finalement :
Exercice 6-3
modifierRésoudre par la méthode de Descartes (cas général) l'équation :
- ,
déjà rencontrée dans l'exercice 5-3.
Essayons de mettre cette équation sous la forme :
- .
Par identification des coefficients, nous obtenons le système
qui équivaut à
En portant dans la dernière équation les valeurs de et des deux équations qui la précèdent, on obtient :
ou encore, en posant et en tenant compte de la première équation :
- .
La racine (triple) de la résolvante cubique est par conséquent :
- .
Les solutions de
sont :
et l'on en déduit :
- .
En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :
et ses solutions sont donc :
- .
Exercice 6-4
modifierRésoudre par la méthode de Descartes (cas général) l'équation :
- .
Essayons de mettre cette équation sous la forme :
- .
Par identification des coefficients, nous obtenons le système
qui équivaut à
En portant dans la dernière équation les valeurs de et des deux équations qui la précèdent, on obtient :
ou encore, en posant et en tenant compte de la première équation :
- .
Une racine évidente est
- ,
ce qui donne
- .
En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :
et ses solutions sont donc :
- .